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rivas · Résumé de la discussion

Il est amusant de voir combien il est facile d'être pris au dépourvu dès qu'on manipule l'infini sans précaution. J'ai inventé ça il y a bien longtemps lorsque j'étais en terminale et ça m'est revenu récemment lors d'une discussion sur ce sujet (j'ai des discussions bizarres parfois ).

Comme c'est plutôt difficile à mettre sous forme d'énigme sous le format habituel, j'adapte un peu. Les mathématiciens et physiciens de ce forum, habitués à jouer avec l'infini ne seront sans doute pas surpris mais j'espère que certaines personnes seront engluées dans ce paradoxe (je suis un peu sadique ). Tous vos commentaires constructifs sont les bienvenus.

Comme tous les paradoxes de ce genre, la discussion ne porte pas sur un détail physique (du genre on ne peut pas contruire cet objet infini, le diamètre devient trop petit, ...) mais sur l'abstraction elle-même.

Je construis donc un entonnoir infini un peu spécial: je prends un tonneau cylindrique mathématique (parfaitement régulier donc) d'un mètre de rayon intérieur et d'un mètre de hauteur intérieure (intérieur veut dire ici surface et volume utile). Je pose dessous un tonneau cylindrique de 1/2 mètre de rayon intérieur et d'un mètre de hauteur intérieure. Puis encore dessous un tonneau de 1/3 de mètre de ~~diamètre~~ rayon intérieur et toujours d'un mètre de hauteur le long de l'axe de symétrie des cylindres.
Je supprime ensuite le disque central des faces supérieures et inférieures des tonneaux pour que le volume intérieur soit d'un seul tenant. Cela fabrique un entonnoir "discret".
Je continue mon entonnoir avec une infinité de tonneaux de plus en plus petits, les rayons ~~diamètres~~ étant de 1/n et les hauteurs de 1 mètre.

Question 1: Quelle est le volume intérieur de cet entonoir?
Question 2: Quelle est la surface intérieure des surfaces verticales?

La surface intérieure totale est plus grande puisque dans la question précédente, on n'a pas compté la surface des couronnes.

Quel est le paradoxe?

Spoiler : Pensée finale

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Paradoxe de l'infini Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=mitsuidewi]Le volume totale de l'entonnoir est la somme de chaque volume cylindrique : [latex]V_t=\sum \pi R^2 h \\[/latex] avec h=1 on revient à : [latex]V_t=\sum \pi R^2\,=\,\pi + \frac{\pi}{2^2}+...+\frac{\pi}{n^2}\,=\,\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{n^2}\,=\,\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\,=\,\pi \, \frac{\pi^2}{6}\,=\,\frac{\pi^3}{6}[/latex] Pour la surface on résout de la même manière : [latex]S_t=\sum 2\pi R h \\[/latex] avec h=1 [latex]S_t=\sum 2\pi R \,=\,2\pi + \frac{2\pi}{2}+...+\frac{2\pi}{n}\,=\, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\pi}{n}\,=\, 2\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,=\, 2\pi \, \infty\\ S_t=\infty[/latex] Le paradoxe se caractérise par le fait que l'on ait un objet de volume fini, mais de surface infini. Ce qui parait plutôt aberrant en soit mais bien réel. Pour la pensée finale on se trouve dans le même cas, si l'on trace un trait d'épaisseur infinitésimale, alors on pourra obtenir un trait de longueur infini dans une surface finie. Pour la culture générale, on se ramène a des objets tels que les fractales, dont la surface est infini également, par exemple le flocon de neige.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion rivas 17-02-2011 23:05:10 Il est amusant de voir combien il est facile d'être pris au dépourvu dès qu'on manipule l'infini sans précaution. J'ai inventé ça il y a bien longtemps lorsque j'étais en terminale et ça m'est revenu récemment lors d'une discussion sur ce sujet (j'ai des discussions bizarres parfois ). Comme c'est plutôt difficile à mettre sous forme d'énigme sous le format habituel, j'adapte un peu. Les mathématiciens et physiciens de ce forum, habitués à jouer avec l'infini ne seront sans doute pas surpris mais j'espère que certaines personnes seront engluées dans ce paradoxe (je suis un peu sadique ). Tous vos commentaires constructifs sont les bienvenus. Comme tous les paradoxes de ce genre, la discussion ne porte pas sur un détail physique (du genre on ne peut pas contruire cet objet infini, le diamètre devient trop petit, ...) mais sur l'abstraction elle-même. Je construis donc un entonnoir infini un peu spécial: je prends un tonneau cylindrique mathématique (parfaitement régulier donc) d'un mètre de rayon intérieur et d'un mètre de hauteur intérieure (intérieur veut dire ici surface et volume utile). Je pose dessous un tonneau cylindrique de 1/2 mètre de rayon intérieur et d'un mètre de hauteur intérieure. Puis encore dessous un tonneau de 1/3 de mètre de ~~diamètre~~ rayon intérieur et toujours d'un mètre de hauteur le long de l'axe de symétrie des cylindres. Je supprime ensuite le disque central des faces supérieures et inférieures des tonneaux pour que le volume intérieur soit d'un seul tenant. Cela fabrique un entonnoir "discret". Je continue mon entonnoir avec une infinité de tonneaux de plus en plus petits, les rayons ~~diamètres~~ étant de 1/n et les hauteurs de 1 mètre. Question 1: Quelle est le volume intérieur de cet entonoir? Question 2: Quelle est la surface intérieure des surfaces verticales? La surface intérieure totale est plus grande puisque dans la question précédente, on n'a pas compté la surface des couronnes. Quel est le paradoxe? Spoiler : Pensée finale Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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