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	Forum » Enigmes Mathématiques » Que vaut x ? Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=gasole]Perso, j'ai eu aucune intuition... mais excel m'a suggéré qu'il s'agissait du nombre d'or. J'ai préféré chercher une preuve constructive qu'une simple vérification, et voici : On remarque que : [latex] x\geq 0 [/latex] sinon pour on a [latex] f(x,1)>0 [/latex] alors qu'on devrait avoir [latex] f(x,1)=0 [/latex]. Tout va reposer sur le fait que [latex]\forall x: (x-1)\leq \lfloor x\rfloor\leq x[/latex] Soit [latex] f(n,x) [/latex] la fonction : [latex] \lfloor x \lfloor nx\rfloor\rfloor -\lfloor nx\rfloor -n +1 [/latex], fonction dont on cherche les zéros. Vu l'inégalité évoquée ci-dessus, on trouve : [latex] nx^2-nx-n-x\leq f(x,n) \leq nx^2-nx-n [/latex], et en posant [latex] f(x,n)=0 [/latex], on en tire D'une part [latex] x^2-x-1\geq 0 [/latex], et d'autre part, il faut aussi que pour tout n: [latex] nx^2-nx-n-x\leq 0 [/latex], et donc pour tout n: [latex]n.(x^2-x-1) - x\leq 0 [/latex], or pour [latex] n [/latex] suffisamment grand, si [latex] x^2-x-1 [/latex] est strictement positif ça ne sera pas possible, donc [latex] x^2-x-1 =0 [/latex] ce qui implique (car [latex] x>0 [/latex]) que [latex] x= \varphi [/latex] ([latex] \varphi [/latex] est l'unique racine [u]positive[/u] de [latex] x^2-x-1 =0 [/latex] et vaut précisément le nombre d'or).[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion L00ping007 11-04-2011 21:48:48 On note [latex]\lfloor x \rfloor[/latex] la partie entière du nombre réel x. Un nombre x vérifie la relation suivante quelque soit n entier naturel non nul : [TeX]\lfloor x \lfloor nx \rfloor\rfloor-\lfloor nx \rfloor=n-1[/TeX] Que vaut x ? La case réponse valide une valeur approchée de x à 3 chiffres après le point décimal (notation anglo-saxonne) Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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