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	Forum » Enigmes Mathématiques » Puissance 4 Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Kikuchi]([b]Edit:[/b] J'avais oublié le détail qui dit qu'ils doivent être impair... :( ) I'm back pour la question 2. Et sans mon ordi cette fois!:cool: Tout d'abord, pour respecter (ii), réécrivons [latex]d[/latex] en [latex]4^n-a[/latex], [latex]n[/latex] entier. Nous minorerons la valeur de [latex]n[/latex] plus tard. (spoiler:elle dépend de [latex]a[/latex]) On a alors [latex]a.d=4^na-a^2=(2^n\sqrt{a}-a)(2^n\sqrt{a}+a)=b.c[/latex] Choisissons donc [latex]b=2^n\sqrt{a}-a \text{ et } c=2^n\sqrt{a}+a[/latex] pour respecter (iv) Pour respecter (iii), il nous faut maintenant [latex]b+c[/latex], un multiple de 4. Autrement dit un entier [latex]k[/latex] avec [latex]b+c=2^{n+1}\sqrt{a}=4^k[/latex] Cela nous amène deux conditions: [latex]\left{ \begin{tabular}{l} \bullet \; n \text{ impair}\\ \bullet \; \sqrt{a} \text{ multiple de 4} \end{tabular}[/latex] Maintenant, pour la minoration de [latex]n[/latex] et afin de respecter (i), On veut d'un côté: [latex]a<b\Rightarrow a<2^n\sqrt{a}-a \Rightarrow 2a<2^n\sqrt{a} \Rightarrow 2\sqrt{a}<2^n[/latex] De l'autre côté: [latex]c<d\Rightarrow 2^n\sqrt{a}+a<4^n-a \Rightarrow 2^n\sqrt{a}+2a<2^{2n} \Rightarrow 2^n\sqrt{a}<2^{2n} \Rightarrow \sqrt{a}<2^n[/latex] On choisit la plus restrictive des deux, celle qui nous vient de [latex]a<b[/latex] pour obtenir au final: [latex]n>\log_2(\sqrt{a})+1[/latex] (qui sera un entier car il faut que [latex]\sqrt{a}[/latex] soit un multiple de 4) [b]Conclusion[/b] (Edit: Conclusion a peu près fausse car je suis quand même un gros boulet parfois :rolleyes: ) Si l'on choisit:[latex]\left{ \begin{tabular}{l} \bullet \; a \text{ avec }\sqrt{a} \text{ multiple de 4}\\ \bullet \; n \text{ impair avec } n>\log_2(\sqrt{a})+1 \end{tabular}[/latex] Alors les quadruplets [latex]\{a \;,\; 2^n\sqrt{a}-a \;,\; 2^n\sqrt{a}+a \;,\; 4^n-a \}[/latex] sont solutions du problème. [b]Un exemple[/b] (Edit: Exemple foiré car quand je suis un boulet, j'insiste et signe!:lol:) Avec [latex]a=16[/latex] et donc [latex]\sqrt{a}=4[/latex], et [latex]n=5[/latex] On a bien: (i) [latex]16<2^5\times 4-16<2^5\times 4-16<4^5-16 \Rightarrow 16<112<144<1008[/latex] (ii) [latex]a+d=1024=4^5[/latex] (iii) [latex]b+c=256=4^4[/latex] (iv) [latex]\left{ \begin{tabular}{l} a.d=16128\\ b.c=16128 \end{tabular}[/latex] Voilà pour [b]une[/b] forme générale. Pour l'unicité, là, c'est bien au-delà de mes capacités. :P [b]Edit:[/b]Du coup, la seule valeur de [b]a[/b] pour que ça marche, c'est 1 avec [latex]\sqrt{1}=4^0[/latex] [b]Re-Conclusion[/b] Si l'on choisit:[latex]\left{ \begin{tabular}{l} \bullet \; a=1\\ \bullet \; n \text{ impair avec } n>1 \text{ donc } n\ge 3 \end{tabular}[/latex] Alors les quadruplets [latex]\{1 \;,\; 2^n-1 \;,\; 2^n+1 \;,\; 4^n-1 \}[/latex] sont solutions du problème.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 10 moutons, ils meurent tous sauf 9, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion L00ping007 06-05-2011 19:07:20 Un petit problème histoire de bien se détendre pour le WE Question 1 Quels sont les quadruplets d'entiers impairs vérifiant ces conditions ? (i) [latex]a < b < c < d \le 2011[/latex] (ii) [latex]a + d[/latex] est une puissance de 4 (iii) [latex]b + c[/latex] est une puissance de 4 (iv) [latex]ad=bc[/latex] La case réponse valide les quadruplets solutions sous cette forme : a1-b1-c1-d1 pour une seule solution a1-b1-c1-d1;a2-b2-c2-d2 pour deux solutions etc. Question 2 Quelle est la forme générale des quadruplets solutions ? Sous-entendu, s'ils ne sont pas majorés comme dans la question 1. PS : je n'ai pas la démonstration mathématique de ce problème, j'ai juste obtenu les solutions par un petit programme informatique. Ce qui m'a permis de conjecturer une généralisation, mais sans preuve pour l'instant. Je vais chercher en même temps que vous ! Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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