Existe-t-il une fonction f définie sur les réels à valeur dans les réels tel que l'image de tout intervalle ]a,b[ , non vide et aussi petit soit il, soit l'ensemble des nombres réels.

Autrement dit quel que soit le nombre Y et l'intervalle ]a,b[, il existe un X dans cet intervalle (même une infinité de X) tel que f(X) = Y .

Si une telle fonction existe, donnez en un exemple (accompagné d'un graphique ).


Pour l'instant je ne donne pas d'indice pour laisser libre cours à votre créativité


Edit:   J'ai l'impression que beaucoup de gens interprètent mal le problème. J'ai souligné pour être clair que : la fonction passe par tout les réels dans tous les intervalles, (d'où la répétition "partout partout" du titre qui n'est pas une faute de frappe)
        La fonction n'est donc continue nulle part et son graph est un nuage de points dense qui occupe tout la plan. Il est donc inutile d'essayer de composer entre elles des fonctions continues par morceaux usuelles comme tan,sin,cos,exp,+,-,/,*... (ce qui n'interdit pas de les utiliser composés avec des fonctions plus exotiques). Il existe pleins de propriétés des nombres utilisables pour définir une fonction.


Indice 1:Spoiler : [Afficher le message] Oui c'est possible ! Et ma solution n'est pas abstraite et compréhensible par tous, donc ne perdez pas courage .
Je donnerais des indices plus tard, je voudrais d'abord voir si il n'existe pas des pistes complètements différentes de la mienne. 

Indice 2:Spoiler : [Afficher le message]  L'écriture décimale (ou binaire) des réels est un champ de recherche fertile : Pour appartenir à un intervalle donné, il suffit de fixer un nombre fini de chiffre, par exemple 3.5215... pour appartenir à ]3.521,3.522[.
Il reste encore une infinité de chiffres libres pour nous emmener partout (avec la bonne fonction )

Indice 3: Spoiler : [Afficher le message] Pour que les premières décimales de x aient une incidence nulle sur f(x) par rapport à leur ensemble, on peut essayer de donner autant de poids à toutes les décimales.
On peut par exemple compter combien de fois un chiffre réapparait dans les n premières décimales, ainsi l'ordre de ces n décimales ne compte plus.