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	Forum » Enigmes Mathématiques » Seul au monde avec Wilson Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Yanyan]Voici la réponse (si elle intéresse quelqu'un) : On montre par récurrence que [latex]P_k(X)=X^kP_0(X)^{(k)}+(X-1)^{n-k}R_k(X)[/latex] où [latex]R_k[/latex] est un polynôme. D'où [latex]P_{n-1}(1)=(n-1)![/latex], or [latex](X-1)^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}(-1)^iX^{n-i}[/latex] d'où [latex]P_k(X)=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}(-1)^i(n-i)^{k}X^{n-i}[/latex] d'où la relation annoncée. Ensuite on y ajoute 1 et on la regarde modulo n et on trouve par le petit théorème de Fermat et le binôme de Newton [latex] (1-1)^n[/latex] et finalement on obtient la divisibilité par n.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion Yanyan 19-08-2011 17:45:33 Nous allons démontrer le sens direct du théorème de Wilson. Montrer que [latex]\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}(n-k)^{n-1}=(n-1)![/latex]. En déduire que [latex](n-1)!+1[/latex] est divisible par [latex]n[/latex] quand ce dernier est premier. Bon travail. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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