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	Forum » Enigmes Mathématiques » Quadrilatère inscrit Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=TiLapiot]le pt A passe par y=√x => yA=√xA le pt B passe par y=x² => yB=x²B soit f(x)=√x-x² la dérivée f'(x)=√x/2-2x s'annule pour 4x√x=1 => x^(-3/2)=4 => -3/2.lnx=2ln2 => lnx=-4/3ln2 => x=e^(-4/3ln2) ~0,39685 donc xA=xB est désormais connu. [url]http://img7.imagebanana.com/img/hy0og6lw/quadrilatreinscrit.gif[/url] pour la 2ème question, j'ai fait une figure et je ne suis pas convaincu que le plus grand quadrilatère recherché passe forcément par le segment [AB] trouvé à la 1° question. Mon raisonnement tordu est le suivant : Considérant la symétrie entre les courbes y=x² et y=√x, coupées par y=x, j'imagine simplement qu'il peut exister un segment [MN], dont la surface totale du quadrilatère (OMCN) sera supérieure à celle du quadrilatère (OBCA)... Je vais donc (tenter de) calculer la surface totale du quadrilatère (OMCN), ceci en fonction de l'unique variable xM... Le point C satisfait x²=√x => x(x³-1)=0 => 2 solutions réelles : x=0 et x=1. x=0 correspond au point O, xO=0, yO=0 x=1 correspond au point C, xC=1, yC=1²=1 M est sur la courbe y=x², yM=x²M => M(xM;x²M) N est sur la courbe y=√x, yN=√xN, mais on sait que M et N ont la même abcisse => N(xM;√xM) Soit H la projection orthogonale de M sur l'axe des x => H(xM;0), soit I la projection orthogonale de C sur l'axe des x => I(1;0). Surface totale (OMCN) =(OMN)+(MNC) or surface(OMN)=surface(OHN)-surface(OHM) de même, surface(OHN) =base.hauteur/2 =xM.√xM/2 de plus, surface(OHM) =x³M/2 Calcul de surface(MNC) : K est l'intersection de (NC) avec l'axe des x, La droite (NC) a pour équation y=ax+b. En remplaçant par les coord de C et N, on obtient : a.1+b=1 a.xM+b=√xM C'est un syst de 2 eq à 2 inc, a=(1-√xM)/(1-xM), d'où b=1-a =(√xM-xM)/(1-xM) donc la droite (NC) a pour equation y=(1-√xM)/(1-xM).x + (√xM-xM)/(1-xM) yK=0 pour xK=-b/a =-(√xM-xM)/(1-xM)/(1-√xM)/(1-xM) =(√xM-xM)/(√xM-1) <0 =>K((√xM-xM)/(√xM-1);0) L est l'intersection de (MC) avec l'axe des x, La droite (MC) a pour équation y=αx+β. En remplaçant par les coord de C et M, on obtient : α.1+β=1 α.xM+β=√xM Là encore, c'est un syst de 2 eq à 2 inc, α=(1-x²M)/(1-xM), d'où β=1-α =(x²M-xM)/(1-xM) donc la droite (MC) a pour equation y=(1-x²M)/(1-xM).x + (x²M-xM)/(1-xM) yL=0 pour xL=-β/α =-(x²M-xM)/(1-xM)/(1-x²M)/(1-xM) =(xM-x²M)/(1-x²M) >0 =>L((xM-x²M)/(1-x²M);0) surface(MNC)=surface(KIC)-surface(KHN)-surface(LIC)+surface(LHM) Bigre! On a surface(KIC) =base.hauteur/2 =[1-(√xM-xM)/(√xM-1)]/2 =(1+√xM)/2 et surface(KHN) =base.hauteur/2 =[xM-(√xM-xM)/(√xM-1)].√xM/2 =(xM-x²M)/(1-√xM)/2 De plus, surface(LIC) =base.hauteur/2 =[1-(xM-x²M)/(1-x²M)]/2 =[1/(1+xM)]/2 Et aussi surface(LHM) =base.hauteur/2 =[xM-(xM-x²M)/(1-x²M)].x²M/2 =xM^4/(1+xM)/2 La surface totale (OMCN) est : =xM.√xM/2 -x³M/2 +(1+√xM)/2 -(xM-x²M)/(1-√xM)/2 -[1/(1+xM)]/2 +xM^4/(1+xM)/2 Comme c'est une horrible horreur (...), je file sur Wolfram. Je confesse que c'est la 1ère fois que je tâte de ce logiciel, j'en ressors ahuriii ! Après un bon moment, je finis par lui jeter ma requête : "derive x√x/2 -x³/2 +(1+√x)/2 -(x-x²)/(1-√x)/2 -[1/(1+x)]/2 +x^4/(1+x)/2" il me pond une réponse immédiate : => dérivée = xM^(-.5)/4-xM, qui s'annule pour xM=1/(22^(1/3)) ~0.39685 Merdum, c'est la même valeur que celle en 1° CQFD malgré moi : le quadrilatère passe par [AB]. 4h... Chui bon pour une douche ;) TiLapiot[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?* Retour Résumé de la discussion shadock 04-09-2011 01:28:41 Sur l'image ci-dessous sont représentées deux fonctions, $\blue{\sqrt{x}}$ et $\red{x^2}$ sur l'intervalle fermé [0;1]. De plus O est l'origine du repère, C est le point de concourt des deux fonctions, A et B appartiennent respectivement à la fonction "racine" et "carré" et telle sorte que $(AB)//(Oy)$ . (Oy étant l'axe des ordonnées) Question 1 : Pour quelle valeur de $x$ la longueur du segment [AB] est-elle maximale ? Combien vaut-elle ? Question 2 : (A laquelle je réfléchis en même temps que vous.) Où faudrait-il placer le point A et le point B pour que l'aire du quadrilatère OBCA soit maximale ? (Tout en respectant les conditions de départ.) Bonne réflexion à tous... Shadock Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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