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shadock · Résumé de la discussion

Aujourd'hui je me suis fais le plaisir de participer au concours général de mathématiques. Je suis cependant resté coi devant l'exercice numéro 2 dont je vous livre d'énoncé :

Une suite majoritairement décroissante :
Soit [latex](U_n)_{n \geqslant 0}[/latex] une suite de nombre réels positifs telle que [latex]U_0=1[/latex], pour tout entier [latex]n \geqslant 1[/latex], au moins la moitié des termes [latex]U_0, U_1, ... ,U_{n-1}[/latex] soient supérieurs ou égaux à [latex]2*U_n[/latex].
Montrer que [latex]U_n[/latex] tend vers 0.

Voilà s'il y en a qui veulent s'amuser un peu, en attendant la correction du concours.

Shadock

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Mathématiques pour les nuls 10 Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=w9Lyl6n]Fixons un n, [b]on va montrer que U_n est plus petit que U_0 / 2^[log2 n] <= 2U_0/n[/b] "[x]" désigne la partie entière de x. D'après l'énoncé, il existe [(n+1)/2] termes U_k, tels que 0<= k<n et tels que U_n <= U_k / 2. Comme on a [(n+1)/2] entiers k distincts, il ne peuvent tous être dans {0,1,2...,[n/2]-1}, il en existe donc au moins un tel que k0>=[n/2] et U_n <= U_k0 / 2 On continue ce procédé temps que les k trouvé sont différent de 0, on trouve ainsi k0,k1,k2,...ki où [b]U_n <= U_ki / 2^i [/b] Combien de k peut on trouver avant d'arriver à k=0 ? Autant de fois que l'on peut diviser n par 2 c'est à dire au moins [log2 n] fois! :) On retrouve donc le résultat U_n <= U_k[log2 n] /2^[log2 n] <= 2U_0 / n (U_n) tend bien vers 0. PS: il n'y a que chez moi que les formules latex s'affiche sous forme de script brut? :/[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ? Retour Résumé de la discussion shadock 23-03-2012 19:29:19 Aujourd'hui je me suis fais le plaisir de participer au concours général de mathématiques. Je suis cependant resté coi devant l'exercice numéro 2 dont je vous livre d'énoncé : Une suite majoritairement décroissante : Soit [latex](U_n)_{n \geqslant 0}[/latex] une suite de nombre réels positifs telle que [latex]U_0=1[/latex], pour tout entier [latex]n \geqslant 1[/latex], au moins la moitié des termes [latex]U_0, U_1, ... ,U_{n-1}[/latex] soient supérieurs ou égaux à [latex]2*U_n[/latex]. Montrer que [latex]U_n[/latex] tend vers 0. Voilà s'il y en a qui veulent s'amuser un peu, en attendant la correction du concours. Shadock Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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