Attention ! Ceci est à ma connaissance, un problème auquel personne jusqu'à présent (ou du moins personne qui n'en aie parlé) ne s'est intéressé.

Mais il y a une histoire. Sortez vos pyjamas, père Castor passe par là.

C'était un jour ordinaire, je m' amusais à marcher sur les traces de Gauss.
Pouf ! Une histoire dans une histoire.

Le professeur de Gauss leur avait demandé d'additionner les nombres de 1 à 100.
Il pensait qu'il les occuperait bien longtemps. Peu après Gauss au tableau se présenta et la bonne réponse donna. Pris au dépourvu, le professeur vît en lui une marque de génie. Il y avait bien une formule pour faciliter la tâche mais Gauss la redécouvrit.

Happy End

La formule, que j'ai cherchée est, vous la connaissez sans doute,
(n(n+1))/2

Puis, j'ai cherché à trouver un tableau carré qui pouvait contenir, par exemple, 1 fois le nombre 1, 2 fois le nombre 2, 3 fois le nombre 3... Jusqu'au maximum possible.
J'ai compris qu'il fallait que je trouve un nombre où
la racine de (n(n+1))/2 tombait sur un nombre entier.

J'avais programmé une veille calculette qui testait chaque nombre et je devais appuyer tout le temps sur égal pour faire avancer le programme.
(Ouille mes doigts. )
Je voulais trouver un calcul, un moyen, une formule, une solution pour dénicher sans douleurs aux doigts (mais à la tête) ces fichus carrés pyramidaux.

Après plusieurs recherches, je me suis rendu auprès de mon ancien professeur de mathématiques.  Je vous épargne les nombreuses recherches, voici les résultats.

Dans un carré  de 6 sur 6, donc de 36 cases, vous pouvez mettre 1 nombre 1, 2 nombres 2 ... jusqu'à 8.

Il y a bien sûr d'autres carrés.  Quelques-uns :

0 : 0
1 : 1
8 : 6
49 : 35
288 : 204
1681 : 1189
9800 : 6930

Mon professeur a remarqué la chose suivante :

0) 0 x 0 = 0
1) 1 x 1 = 1
2) 2 x 3 = 6
3) 5 x 7 = 35
4) 12 x 17 = 204
5) 29 x 41 = 1189
6) 70 x 99 = 6930

Chaque résultat est un des carrés pyramidaux possibles.
Il est sous la forme a*b.
Prenez la ligne 3.    5 = 2*2 + 1 et 7 = 3*2+1
Vous pouvez remarquer que le facteur d'une liste est égal au double du précédent + le second précédent.

Maintenant voyons ce que j'ai trouvé :

0) 0 x 0 = 0
1) 1 x 1 = 1
2) 2 x 3 = 6
3) 5 x 7 = 35
4) 12 x 17 = 204
5) 29 x 41 = 1189
6) 70 x 99 = 6930

Prenez une liste.  a*b = c ou c est un carré pyramidal et a<b
a+b = d. 2a+b = e.
d*e = f où f est le prochain carré pyramidal !

Mais ce n'est pas tout ! 

0) 0 x 0 = 0
1) 1 x 1 = 1
2) 2 x 3 = 6
3) 5 x 7 = 35
4) 12 x 17 = 204
5) 29 x 41 = 1189
6) 70 x 99 = 6930

Ligne 0 & 1: 0+1 = 1.  1-0 = 1. 1*1  = 1. Le premier carré pyramidal.
Ligne 1 & 2: 6+1 = 7. 6-1 = 5. 7*5 = 35. le troisième carré pyramidal.
ect...

Deux carré pyramidaux consécutifs a et b où a<b,
(a+b)(b-a) = un prochain carré pyramidal où son ordre est impair.
(Le 1er, le 3eme, le 5eme...)

Voilà. Ces carrés pyramidaux sont une vraie prise de tête.
Je voulais mettre à profit la communauté P2Tienne pour trouver des propriétés ou des solutions à ce problème-jeu.

Je vous remercie de m'avoir et lu, et peut être de m'aider.

Pyrofoux.


PS : J'ai uploadé 2 fichiers qui peuvent vous aider.
CarreScript cherche des carré pyramidaux entre deux nombres.
CarreScript2 lui est plus pratique : il vous donne les listes de facteurs de carré pyramidaux, avec leurs rangs !

Attention ! Les 2 fichiers sont en .txt, changez leurs extensions en .html pour les exécuter !

http://www.prise2tete.fr/upload/pyrofou … Script.txt
&
http://www.prise2tete.fr/upload/pyrofou … cript2.txt