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	Forum » Enigmes Mathématiques » Diagonale de Cantor Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=ThomasLRG][quote=nodgim]Le 1er pt (ça m'obsède ça, le 1er point)[/quote] Ce "1er point" n'existe pas. Dit autrement, pour tout nombre réel x > 0 il existe un nombre réel strictement compris entre 0 et x (il suffit de considérer x/2). Imaginons une bestiole infiniment petite qui peut se déplacer sur les nombres réels et se placer précisemment sur chacun d'entre eux. Si on place cette bestiole sur un segment privé de ses extrémités, alors tout se passera pour elle comme si on l'avait placé sur une droite : elle pourra se déplacer "à l'infini" dans un sens comme dans l'autre car où qu'elle soit, il y aura toujours un nombre après (pas de "1er point" pour l'arrêter") [quote=nodgim]Si 0,00..001 n'existe pas, alors on ne sait pas non plus écrire le 2ème pt, ni le 3ème,..et au final, on ne sait pas décrire beaucoup de points.[/quote] Dans la démonstration de Cantor il n'est nullement indiqué que le 1er nombre du tableau est le "1er nombre réel strictement positif" ! Au moins tu viens de mettre le doigt sur une incompréhension de la démo et on va pouvoir avancer ^^. Reprenons au début : Supposons que les nombres réels de l'intervalle ]0,1[ soient dénombrables et raisonnons par l'absurde (la démonstration de Cantor n'est pas une preuve par l'absurde, et donc dans un certain sens "meilleure", mais je trouve le raisonnement par l'absurde plus simple à saisir) puisqu'ils sont dénombrables, alors il existe une bijection f : N -> ]0,1[ (par définition de la dénombrabilité). On écrit alors dans un tableau les nombres f(0), f(1), f(2), f(3), etc... on crée alors un nouveau nombre qui n'est pas dans le tableau grace à la diagonale et on obtient la contradiction recherchée : si ce nombre n'est pas dans le tableau c'est qu'il n'a pas d'antécédent par f, mais par définition d'une bijection, tout élément de ]0,1[ doit avoir un antécédent ----> contradiction. A noter que f(0) n'est pas "le 1er nombre réel strictement positif" dont on parlait tout à l'heure. En effet rien n'oblige à ce qu' une bijection soit croissante et en particulier que f(0) soit le plus petit des nombres. par exemple, si on prend la fonction g : N -> N telle que pour tout nombre n, si n est pair g(n) = n +1 et si n est impair g(n) = n - 1. Alors la suite des images donne 1 0 3 2 5 4 ... g n'est pas croissante mais c'est bien une bijection. D'ailleurs dans la même idée on a la chose curieuse suivante. Les nombres rationnels compris dans l'intervalle ]0,1[ sont dénombrables eux. Il existe donc une bijection h : N -> Q inter ]0,1[. Pourtant h(0) n'a rien de particulier et cela n'aurait aucun sens que de le décrire comme "le premier rationnel compris entre 0 et 1". En effet, cette bijection h existe mais en fait elle est loin d'être unique, un corollaire de la démonstration de l'existence d'une bijection avec N est qu'il y en a une infinité. Et il se trouve que dans ce cas particulier, aucune de ces bijections ne "sort du lot", il n'y en a pas une qui soit plus naturelle que les autres à laquelle on pourrait se référer, elle sont toutes aussi pourries les unes que les autres. A contrario, l'ensemble des nombres pairs est aussi dénombrable, il existe donc une bijection entre cet ensemble et N. Puisqu'il existe une bijection avec N, il en existe aussi une infinité d'autres. Mais cette fois ci, il y en a une qui est spéciale car croissante et permet donc de dire "0 est le 1er des nombres pairs". Pour résumer tout ça : attention à ne pas confondre "l'image de 0" et "le plus petit nombre ...", dans le cas général ils n'ont rien en commun.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion nodgim 30-03-2012 18:53:46 Bonsoir à tous. Je suis un peu sceptique sur la démonstration (simple) de Cantor sur l'indénombrabilité des nombres réels. S'il est clair que, par la modification en diagonale de 1 chiffre de chacun des nombres réels écrit en développement décimal illimité, il crée un nouveau nombre, forcément différent des nombres lus, en quoi est ce gênant de déclarer que ce nouveau nombre est bien toujours présent dans la liste des nombres réels, mais pas encore lu ? A partir du moment ou la liste est infinie, ce nombre ne sera jamais atteint. Je perçois bien la différence entre l'ensemble des naturels et celui des réels, mais ne suis pas convaincu par la démo de Cantor. Quelqu'un pour argumenter en sa faveur ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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