Hello!

Je poste ici la question subsidiaire que j'ai abordée dans blabla.
Il s'agit de trouver une fonction f de R dans R:
-définie partout
-continue partout
-tel que fofofo...f  n fois = identité
-et que fofofo...f  k fois différent de l'identité si k<n.

Ou prouver que ça n'existe pas.

(Son n-ieme itéré est l'identité et pas avant)

Le tout début est simple:
- n=1 :  x -> x convient.
- n=2 :  x -> -x convient.
- n=3 :  le mystère commence.

Bonne chance!

Tout comme la nuit, midi porte conseil, je pense avoir la solution.

Solution: de masab
Spoiler : [Afficher le message]
Ça n'existe malheureusement pas pour n>=3.
Démonstration:
f est continue, d’après les propriétés f est de plus bijective donc f est strictement monotone.
Supposons f croissante:
-Supposons qu'il existe a tel que a < f(a) en appliquant f à cette inégalité on a
  f(a) < f(f(a)) puis f(f(a)) < f(f(f(a))) d’où a < f^n(a)
-Supposons qu'il existe a tel que f(a) < a en appliquant f à cette inégalité on a
  f(f(a)) < f(a) puis f(f(f(a))) < f(f(a)) d’où f^n(a) < a
donc si f est croissante pour tout x f(x)=x, f est l'identité.

Supposons f décroissante:
L'identité étant une fonction croissante il faut nécessairement composer f un nombre pair de fois pour avoir la propriété voulue. On a donc f^2n = id. Ainsi donc F = f^2 composée n fois donne l'identité, f^2 étant croissante on a nécessairement f^2 = id comme précédemment démontré.

Autrement dit, sous nos hypothèses de définition sur R et de continuité les fonctions telles que f^n = id sont soit l'identité soit des involutions (ie fonction étant leur propre bijection réciproque, graphiquement celles dont leur courbe est symetrique par rapport à la droite f(x) = x).