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	Forum » Enigmes Mathématiques » Somme des inverses Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=rivas]Il me semble que ce n'est pas possible. Je dois vérifier mais si on raisonne par l'absurde et qu'on écrit l'égalité et qu'on multiplie des 2 côtés par le ppcm de tous les dénominateurs, on arrive à une impossibilité car on pourrait trouver des nombres premiers divisant tous les termes de la somme sauf 1 et la somme elle-même... Je vais essayer de détailler. [b]EDIT[/b]: J'ai quelques minutes pour détailler... Soit donc N le plus grand entier dont on prend l'inverse, S la somme, que l'on suppose donc entière. On a [latex]S=\sum_{k=1}^{N}\dfrac1k[/latex]. Soit [latex](S-1)N!=\sum_{k=2}^{N}\dfrac{N!}k[/latex] Soit maintenant p le plus grand nombre premier inférieur ou égal à N. p divise N! donc le terme de gauche. p divise aussi tous les termes de la somme de droite sauf 1: [latex]\dfrac{N!}p[/latex]. Il ne divise donc pas le terme de droite de l'égalité ce qui est contradictoire. J'ai utilisé N! car l'écriture est plus simple... Je pense qu'on peut le généraliser à une somme d'inverses non consécutifs avec la même démonstration, en multipliant des 2 côtés par le ppcm des entiers dont on prend les inverses (à vérifier).[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion titoufred 15-11-2012 15:58:10 La somme des n premiers inverses peut-elle être un entier pour n>1 ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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