Écrire une réponse @ Prise2Tete

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

	Forum » Blabla » Problème de Bâle Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=MthS-MlndN]Si les [latex]x=\pi n[/latex] et [latex]x=-\pi n[/latex] sont les racines de ce polynôme (avec n entier positif, voilà la nuance, vu qu'on somme ensuite de 0 à [latex]+\infty[/latex]), alors on peut factoriser ce polynôme par [latex]x-\pi n[/latex] et [latex]x + \pi n[/latex] respectivement. Donc ce polynôme doit être, à un coefficient multiplicatif près, le produit des [latex](x-\pi n)(x + \pi n)[/latex]. On sait que le terme de degré zéro doit valoir 1. Pour l'obtenir, le terme de degré zéro du développement de chaque [latex](x-\pi n)(x + \pi n)[/latex] doit être 1. On doit donc diviser ce truc par [latex]-(\pi n)^2[/latex], et [latex]\frac{(x-\pi n)(x + \pi n)}{-(\pi n)^2} = \frac{(x-\pi n)}{-\pi n} \frac{(x + \pi n)}{\pi n} = \left( 1 - \frac{x}{\pi n}\right) \left( 1 + \frac{x}{\pi n}\right)[/latex][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion shadock 03-05-2013 18:53:53 Merci bien MthS-MlndN 03-05-2013 13:22:03 Si les $x=\pi n$ et $x=-\pi n$ sont les racines de ce polynôme (avec n entier positif, voilà la nuance, vu qu'on somme ensuite de 0 à $+\infty$ ), alors on peut factoriser ce polynôme par $x-\pi n$ et $x + \pi n$ respectivement. Donc ce polynôme doit être, à un coefficient multiplicatif près, le produit des $(x-\pi n)(x + \pi n)$ . On sait que le terme de degré zéro doit valoir 1. Pour l'obtenir, le terme de degré zéro du développement de chaque $(x-\pi n)(x + \pi n)$ doit être 1. On doit donc diviser ce truc par $-(\pi n)^2$ , et $\frac{(x-\pi n)(x + \pi n)}{-(\pi n)^2} = \frac{(x-\pi n)}{-\pi n} \frac{(x + \pi n)}{\pi n} = \left( 1 - \frac{x}{\pi n}\right) \left( 1 + \frac{x}{\pi n}\right)$ shadock 03-05-2013 10:20:27 Oui d'accord, mais pourquoi il y a des moins et des plus et d'où sortent les 1? golgot59 02-05-2013 18:54:33 M'est avis qu'en supposant qu'il s'agit là d'un polynôme, alors il peut s'écrire comme le produit des x moins chaque racine, les racines se lisant sur l'axe des abscisses, c'est à dire en x/Pi, x/2Pi, etc. shadock 02-05-2013 18:09:05 Pour ceux qui ne le savent le problème de Bâle consiste à trouver la valeur exacte de la série suivante : $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}$ Ma question porte sur la démonstration d'Euler (source Ici) que je recopie ici, en partie : Pour suivre la démonstration d'Euler on rappel la formule de Taylor pour la fonction sinus, $\forall x \in \mathbb{R}, sin(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ soit x un réel non nul alors $\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!} \text{...}$ Les racines de $\frac{sin(x)}{x}$ se trouvent en $x=\pi n$ avec n un entier. Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines : $\frac{sin(x)}{x}=\prod_{k=0}^{+\infty}\left(1-\frac{x}{k\pi}\right)\left(1+\frac{x}{k\pi}\right)$ Voilà, je ne comprends pas cette dernière égalité, d'où sort-elle?..c'est limite si je comprends parfaitement la démonstration rigoureuse Shadock Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact