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	Forum » Enigmes Mathématiques » Probabilité : Obtenir un triangle Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=titoufred]Pour la beauté du geste, je vous mets quand même la démonstration que j'avais en tête : On note [latex]y_1^n, y_2^n, ..., y_{n-1}^n[/latex] les nombres tirés aléatoirement dans [0 ; 1] pour découper le bâton en [latex]n[/latex] morceaux, auxquels on ajoute [latex]y_0^n=0[/latex] et [latex]y_n^n=1[/latex]. Puis, on classe tous ces nombres dans l'ordre croissant, en les renommant : [latex]x_0^n=0 \leq x_1^n \leq ... \leq x_{n-1}^n \leq x_n^n=1[/latex]. Pour [latex]k =1,...,n[/latex] on appelle [latex]L_k^n[/latex] la longueur du [latex]k^{ème}[/latex] morceau issu du découpage, c'est-à-dire que [latex]L_k^n=x_k^n-x_{k-1}^n[/latex]. On appelle [latex]g_k^n[/latex] la densité de probabilité de la variable aléatoire [latex]L_k^n[/latex]. Nous allons montrer que [latex]\forall k \in [\![ 1;n ]\!][/latex], on a [latex]g_k^n(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}[/latex] Tout d'abord pour [latex]k=1[/latex], la formule est facile à vérifier : Il y a [latex](n-1)[/latex] façons de choisir quel [latex]y_i^n[/latex] est [latex]x_1^n[/latex]. Ce [latex]x_1^n[/latex] étant fixé à une certaine valeur [latex]x[/latex], la probabilité que tous les autres [latex]y_i^n[/latex] soient supérieurs à [latex]x[/latex] est [latex](1-x)^{n-2}[/latex]. Donc [latex]g_1^n(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}[/latex] (1) De même, pour [latex]k=n[/latex], par symétrie : [latex]g_n^n(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}[/latex] (2) Pour [latex]k \in [\![ 2;n-1 ]\!][/latex] : il y a [latex](n-1)[/latex] façons de choisir quel [latex]y_i^n[/latex] est [latex]x_{k-1}^n[/latex] puis [latex](n-2)[/latex] façons de choisir quel [latex]y_i^n[/latex] est [latex]x_k^n[/latex] et enfin [latex]n-3\choose k-2[/latex] façons de choisir quels [latex]y_i^n[/latex] sont les [latex]x_0^n,...,x_{k-2}^n[/latex]. Ensuite, [latex]x_{k-1}^n[/latex] étant fixé à une certaine valeur [latex]t \in [0;1-x][/latex] et [latex]x_{k}^n[/latex] à une certaine valeur [latex]t+ x[/latex], la probabilité que tous les autres [latex]y_i^n[/latex] soient tirés où il faut vaut [latex]t^{k-2}(1-t-x)^{n-k-1}[/latex] donc [latex]\forall k \in [\![ 2;n-1 ]\!][/latex], on a : [latex]g_k^n(x)=(n-1)(n-2) {n-3\choose k-2} \int_{0}^{1-x} t^{k-2}(1-t-x)^{n-k-1} ~\textrm{d}t[/latex] (3) En appliquant cette formule dans le cas où [latex]k=n-1[/latex], on obtient : [latex]g_{n-1}^n(x)=(n-1)(n-2) \int_{0}^{1-x} t^{n-3} ~\textrm{d}t = (n-1)(n-2) [\frac{1}{n-2}t^{n-2}]_0^{1-x}[/latex] donc [latex]g_{n-1}^n(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}[/latex] (4) Soit [latex]k \in [\![ 2;n-2 ]\!][/latex] On effectue une intégration par parties dans (3) en posant [latex]u'=t^{k-2}[/latex] et [latex]v=(1-t-x)^{n-k-1}[/latex] donc [latex]u=\frac{1}{k-1}t^{k-1}[/latex] et [latex]v'=-(n-k-1)(1-t-x)^{n-k-2}[/latex] Alors [latex]\int_{0}^{1-x} t^{k-2}(1-t-x)^{n-k-1} ~\textrm{d}t = [\frac{1}{k-1}t^{k-1}(1-t-x)^{n-k-1}]_0^{1-x}[/latex] [latex]+ \frac{n-k-1}{k-1} \int_{0}^{1-x} t^{k-1}(1-t-x)^{n-k-2} ~\textrm{d}t[/latex] et donc [latex]\int_{0}^{1-x} t^{k-2}(1-t-x)^{n-k-1} ~\textrm{d}t = \frac{n-k-1}{k-1} \int_{0}^{1-x} t^{k-1}(1-t-x)^{n-k-2} ~\textrm{d}t[/latex] Finalement, [latex]g_k^n(x)=(n-1)(n-2){n-3\choose k-2} \int_{0}^{1-x} t^{k-2}(1-t-x)^{n-k-1} ~\textrm{d}t[/latex] [latex]g_k^n(x)= (n-1)(n-2){n-3\choose k-2}\frac{n-k-1}{k-1} \int_{0}^{1-x} t^{k-1}(1-t-x)^{n-k-2} ~\textrm{d}t[/latex] [latex]g_k^n(x)=(n-1)(n-2) {n-3\choose k-1}\int_{0}^{1-x} t^{k-1}(1-t-x)^{n-k-2} ~\textrm{d}t[/latex] donc [latex]\forall k \in [\![ 2;n-2 ]\!][/latex], on a [latex]g_k^n(x)=g_{k+1}^n(x)[/latex] (5) (4) et (5) donnent que [latex]\forall k \in [\![ 2;n-1 ]\!][/latex], on a [latex]g_k^n(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}[/latex] (6) (1), (2) et (6) prouvent que [latex]\forall k \in [\![ 1;n ]\!][/latex], on a [latex]g_k^n(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}[/latex] Ainsi, [latex]P(L_k^n>1/2) = \int_{1/2}^{1}(n-1)(1-x)^{n-2}~\textrm{d}x = \frac{1}{2^{n-1}}[/latex] On conclut alors pour la probabilité [latex]p_n[/latex] de pouvoir faire un polygône à [latex]n[/latex] côtés : [latex]p_n = 1 - \sum_{k=1}^n P(L_k^n>1/2) = 1 - \frac{n}{2^{n-1}}[/latex][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Si il y a 78 pommes et que vous en prenez 43, combien en avez-vous ? Retour Résumé de la discussion cogito 07-06-2013 21:50:50 Bonjour, Je n'ai encore jamais proposé d'énigme (il faut dire aussi que toutes celles que je connais sont des classiques ) . Mais j'ai vu dernièrement que vous semblez passionner par les probabilités , et cela m'a rappelé un problème de math que j'avais vu dans un encadré de manuel scolaire de mathématiques des temps anciens que voici : Question 1 : Si on casse aléatoirement un bâton en trois morceaux, quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle en mettant ces morceaux bout à bout ? Je précise que "casser aléatoirement un bâton en trois morceaux" signifie : Je ferme les yeux, je fais une marque au hasard sur le bâton ; ensuite je fais une deuxième marque en procédant de la même manière. Je casse ensuite le bâton là où j'ai fait les marques. Avec deux autres questions bonus Question 2 : Plus généralement, si on casse aléatoirement (dans le sens décrit ci-dessus) un bâton en [latex]n[/latex] morceaux, quelle est la probabilité d'obtenir un polygone à [latex]n[/latex] cotés en mettant les [latex]n[/latex] morceaux bout à bout ? Question 1bis : Même question que la question 1 mais cette fois avec le mode opératoire suivant : Je casse mon bâton en deux de manière aléatoire, ensuite je tire à pile ou face quel morceau je vais de nouveau casser en deux aléatoirement. Voilà, Voilà ... Maintenant, à vos neurones ! J'ajoute quelques indices : Indice question 1 : Spoiler : [Afficher le message] Remarque question 1bis : Spoiler : [Afficher le message] Premier Indice question 2 : Spoiler : [Afficher le message] Deuxième indice Indice question 2 : Spoiler : [Afficher le message] Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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