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PRINCELEROI · Résumé de la discussion

Il s’agit à nouveau d’un problème de chapeaux. Le congrès annuel des myopes se réunit. Un jeu est organisé avec 11 des congressistes. Après quelques minutes de discussion, pendant lesquelles les 11 myopes ont pu convenir de la stratégie qu’ils allaient utiliser, l’arbitre du jeu pose un chapeau noir ou rouge sur la tête de chacun et dispose les joueurs en cercle de telle façon que :
- Le myope 1 voit le chapeau du myope 11 et lui seulement ;
- Le myope 2 voit le chapeau du myope 1 et lui seulement ;
- Le myope 3 voit le chapeau du myope 2 et lui seulement ;
- ...
- Le myope 11 voit le chapeau du myope 10 et lui seulement.
Simultanément, chacun des 11 myopes indique la couleur du chapeau qu’il pense porter.En répondant au hasard, ils ont peu de chance de perdre, mais l’arbitre a pu les espionner pendant qu’ils parlaient avant l’épreuve et il est possible qu’il exploite ce qu’il a entendu pour les faire perdre. Pourtant, même dans un tel cas, les 11 joueurs sont certains de gagner. Quelle stratégie ont-ils convenu qui assure à 100 % que l’un d’eux (au moins) proposera la bonne couleur pour le chapeau qu’il porte ?
Plus étonnant, et maintenant on est encore plus proche d’un paradoxe, j’attends des lecteurs qu’ils résolvent un second problème :
- Prouvez que si l’un des myopes est en réalité un aveugle, alors cette fois aucune stratégie convenue à l’avance ne peut fonctionner dans 100 % des cas. Notez bien que, comme précédemment, on ne demande aux joueurs que de s’arranger pour qu’au moins l’un d’eux devine correctement la couleur du chapeau qu’il porte.
Cette seconde partie du problème consiste à démontrer ce qu’on nomme un « résultat négatif ». L’histoire des mathématiques en compte de nombreux : la démonstration découverte par les savants grecs que √2 n’est pas un nombre rationnel (c’est-à-dire qu’il n’existe pas deux entiers p et q, tels que √2 = p/q) est sans doute le premier résultat de ce type. Ici, il faut démontrer qu’aucune stratégie de jeu n’est possible si la ronde des 11 personnages est composée de 10 myopes et 1 aveugle.

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Le congrés des myopes. Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=PRINCELEROI]Une stratégie gagnante à tous coups pour l’équipe de myopes est la suivante. Le premier myope (ou l’un des myopes choisi une fois pour toutes) indique la couleur qu’il voit devant lui. Les autres indiquent la couleur inverse de celle qu’ils voient devant eux. De deux choses l’une : (a) Tous les chapeaux ont la même couleur. Dans ce cas, le premier myope a deviné la couleur de son chapeau. (b) Les couleurs ne sont pas toutes identiques. Dans ce cas, il existe au moins deux myopes qui ont devant eux un chapeau différent du leur, l’un au moins n’est pas le premier myope et donc devine la couleur de son chapeau. Notez que cette stratégie fonctionne avec un nombre pair ou impair de joueurs. Pour le second problème, on peut, sans perte de généralité, supposer que le cercle des onze joueurs est composé : de l’aveugle, du myope 1 qui voit le chapeau de l’aveugle, du myope 2 qui voit le chapeau du myope 1, du myope 3 qui voit le chapeau du myope 2, ..., du myope 10 qui voit le chapeau du myope 9. Une stratégie qui ne fait pas intervenir le hasard (on se limite à ce type de stratégies dans un premier temps) est une règle qui, en fonction de ce que voit un joueur, décide ce qu’il doit répondre. Une stratégie s’exprime donc sous la forme d’une série de consignes de genre : - L’aveugle propose rouge ; - Le myope 1 propose rouge s’il voit un chapeau noir et noir s’il voit un chapeau rouge ; - Le myope 2 propose noir s’il voit un chapeau noir et noir s’il voit un chapeau rouge. - etc. - Le myope 10 propose rouge s’il voit un chapeau noir et noir s’il voit un chapeau rouge. Au total, il y a 21 éléments de consigne (écrits en italique dans l’exemple) pour définir une stratégie, ce qui signifie qu’il y a 221 stratégies différentes possibles. Imaginons qu’une telle stratégie est fixée. La réponse de l’aveugle est fixée. On ne considérera, pour la suite du raisonnement, que des distributions de chapeaux qui comporteront pour lui un chapeau de la mauvaise couleur (si la stratégie retenue lui commande, par exemple, de dire rouge, toutes les distributions de la suite du raisonnement lui attribueront un chapeau noir). Si la réponse du myope 1 (celui qui voit le chapeau de l’aveugle) est rouge pour la couleur que nous venons de fixer pour l’aveugle, nous n’envisagerons pour la suite que des distributions de couleurs où le chapeau du myope 1 est noir, et inversement. Il en résulte que, pour toutes les distributions de chapeaux que nous envisagerons par la suite, l’aveugle et le myope 1 se tromperont. Si la réponse du myope 2 est rouge pour la couleur que nous venons de fixer pour le myope 1, nous n’envisagerons, pour la suite, que des distributions de couleurs où le chapeau du myope 2 est noir, et inversement. Il en résulte que, pour toutes les distributions de chapeaux que nous envisagerons pour la suite, l’aveugle, le myope 1 et le myope 2 seront dans l’erreur. On continue de la même façon construisant ainsi, petit à petit, une distribution de chapeaux qui met l’aveugle et les 10 myopes en défaut. Cette distribution qui existe donc, quelle que soit la stratégie convenue à l’avance par les 10 myopes et l’aveugle, montre qu’aucune stratégie ne réussit à garantir au moins une réponse juste pour chaque distribution possible. En conséquence, si l’arbitre les a espionnés, il est certain de pouvoir les faire perdre. Dans le cas où il ne les a pas espionnés et où il pose les chapeaux au hasard, il a au moins une chance sur 211 de les faire perdre. Le raisonnement précédent suppose que les joueurs ne jouent pas au hasard, autrement dit que la stratégie est déterministe. Si elle ne l’était pas (c’est-à-dire si elle est probabiliste) et qu’elle était gagnante dans 100 % des cas, alors, en retenant, face à une distribution donnée, l’une des réponses possibles de la stratégie, on en tirerait une stratégie déterministe gagnante dans 100 % des cas. Comme de telles stratégies n’existent pas d’après la première partie du raisonnement, on en déduit que, même utilisant le hasard, aucune stratégie de jeux (déterministe ou probabiliste) ne gagne dans 100 % des cas.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion PRINCELEROI 05-08-2013 20:32:01 Il s’agit à nouveau d’un problème de chapeaux. Le congrès annuel des myopes se réunit. Un jeu est organisé avec 11 des congressistes. Après quelques minutes de discussion, pendant lesquelles les 11 myopes ont pu convenir de la stratégie qu’ils allaient utiliser, l’arbitre du jeu pose un chapeau noir ou rouge sur la tête de chacun et dispose les joueurs en cercle de telle façon que : - Le myope 1 voit le chapeau du myope 11 et lui seulement ; - Le myope 2 voit le chapeau du myope 1 et lui seulement ; - Le myope 3 voit le chapeau du myope 2 et lui seulement ; - ... - Le myope 11 voit le chapeau du myope 10 et lui seulement. Simultanément, chacun des 11 myopes indique la couleur du chapeau qu’il pense porter.En répondant au hasard, ils ont peu de chance de perdre, mais l’arbitre a pu les espionner pendant qu’ils parlaient avant l’épreuve et il est possible qu’il exploite ce qu’il a entendu pour les faire perdre. Pourtant, même dans un tel cas, les 11 joueurs sont certains de gagner. Quelle stratégie ont-ils convenu qui assure à 100 % que l’un d’eux (au moins) proposera la bonne couleur pour le chapeau qu’il porte ? Plus étonnant, et maintenant on est encore plus proche d’un paradoxe, j’attends des lecteurs qu’ils résolvent un second problème : - Prouvez que si l’un des myopes est en réalité un aveugle, alors cette fois aucune stratégie convenue à l’avance ne peut fonctionner dans 100 % des cas. Notez bien que, comme précédemment, on ne demande aux joueurs que de s’arranger pour qu’au moins l’un d’eux devine correctement la couleur du chapeau qu’il porte. Cette seconde partie du problème consiste à démontrer ce qu’on nomme un « résultat négatif ». L’histoire des mathématiques en compte de nombreux : la démonstration découverte par les savants grecs que √2 n’est pas un nombre rationnel (c’est-à-dire qu’il n’existe pas deux entiers p et q, tels que √2 = p/q) est sans doute le premier résultat de ce type. Ici, il faut démontrer qu’aucune stratégie de jeu n’est possible si la ronde des 11 personnages est composée de 10 myopes et 1 aveugle. 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