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	Forum » Enigmes Mathématiques » Le triangle et ses points magiques Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=masab][b]Question 2 : déterminer l'ensemble des points magiques dans l'espace 3D.[/b] On se place dans [latex]\mathbb{R}^3[/latex] et l'on note [latex]Oxyz[/latex] le repère orthonormé canonique. Pour simplifier on va traiter le cas particulier où les points [latex]M,N,O[/latex] sont donnés par [latex]M=(1,0,0),\ N=(0,1,0),\ O=(0,0,0)\,. [/latex] On pose [latex]P=(x,y,z)[/latex]. On rappelle que si l'on a un triangle [latex]ABC[/latex] dans l'espace, son aire s'obtient à partir d'un produit vectoriel par la formule [latex]\mathrm{Aire}(ABC)=\frac{\ \Vert\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\Vert\ }{2}[/latex] Cette formule permet de montrer que [latex] 4\,\mathrm{Aire}(MNP)^2=x^2+y^2+2z^2+2xy-2x-2y+1[/latex] [latex]4\,\mathrm{Aire}(NOP)^2=x^2+z^2[/latex] [latex]4\,\mathrm{Aire}(OMP)^2=y^2+z^2[/latex] Par suite l'ensemble des points magiques est donné par les solutions du système [latex] y=\pm x [/latex] [latex]y^2+z^2+2xy-2x-2y+1=0[/latex] Pour [latex]y=x[/latex], on doit prendre l'intersection du plan [latex]y=x[/latex] avec une quadrique, ce qui donne une conique. De même pour [latex]y=-x[/latex]. On voit aisément que ces 2 coniques sont disjointes ; de plus elles ne sont pas réduites à l'ensemble vide d'après la Question 1. Finalement [b]l'ensemble des points magiques est la réunion de 2 coniques disjointes[/b]. Avec un peu de patience, on peut chercher la nature de chacune de ces coniques. On peut aussi étendre la méthode à [b]un triangle [latex]MNO[/latex] quelconque[/b]. Dans ce cas [b]l'ensemble des points magiques est une courbe obtenue comme intersection de 2 quadriques[/b]. [b]Voilà ![/b][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion kossi_tg 04-10-2013 14:45:20 Bonjour à tous, Après mon pentagone et ses cercles qui n'ont pas eu bcp de succès, je lance mon triangle et ses points magiques à qui je souhaite meilleures activités Soit un triangle quelconque MNO. Le point P est dit magique de MNO si et seulement si les triangles MNP, NOP et MOP ont la même surface. 1-) Déterminez l'ensemble des points magiques dans le plan support de MNO. 2-) Approfondissement facultatif: Déterminez l'ensemble des points magiques dans l'espace 3D. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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