Bonsoir à tous ! Ça fait bien longtemps que je ne suis pas repassé par là, mais je vois que ça n'a pas trop changé par ici : toujours cette bonne ambiance et quelques têtes que je reconnais

Si je reviens vers vous, c'est parce que j'ai un petit problème à vous soumettre... Contrairement à ce que ça peut sembler, ce n'est pas du soutiens scolaire, je sais que ce n'est pas le genre de la maison, je voudrais juste avoir vos points de vue sur un problème qu'on a eu en classe... Pour l'anecdote, ce n'est à la base qu'un banal exemple de cours que le prof a changé pour le rendre a priori plus intéressant... Il n'a pas été déçu !

Bon, je vous épargne le blabla, l'énoncé est classique, on étudie une fonction avec de l'exponentielle. On la dérive pour pour dresser un tableau de variations... Facile !

Soit [latex]f(x)=x\:e^{-x^{2}+1}[/latex]

Quelques calculs plus tard...
[TeX]f'(x)=e^{-x^{2}+1}(1-2x^{2})[/TeX][TeX]\forall x \in \mathbb{R}, e^{-x^{2}+1}>0[/TeX]
Donc [latex]f'(x)[/latex] est du signe de [latex](1-2x^{2})[/latex]
[TeX]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\frac{-\sqrt{2}}{2}&&\frac{\sqrt{2}}{2}&&+\infty \\{signe\:de\:f'(x)}& &-&0&+&0&-& \\{variation\:de\:f(x)}&&\searrow&\frac{-\sqrt{2}}{2}e^{\frac{1}{2}}&\nearrow&\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{1}{2}}&\searrow&&\end{array}[/TeX]
(désolé pour la qualité du tableau, j'ai fait ce que j'ai pu...)

Et enfin pour compléter le tableau, on veut y mettre les limites...
Et c'est là que ça pose problème... On tombe sur des formes indéterminées que les théorèmes sur l'exponentielle ne permettent pas de résoudre...

En [latex]+\infty[/latex],

D'une part [latex]\lim_{x\to +\infty} x = +\infty[/latex]
D'autre part [latex]\lim_{x\to +\infty} -x^{2}+1 = -\infty[/latex]
[TeX]\lim_{X\to -\infty} e^{X} = 0^{+}[/TeX]
Donc par composition, [latex]\lim_{x\to +\infty} e^{-x^{2}+1} = 0^{+}[/latex]

Ah... [latex]``+\infty \times 0^{+}"[/latex]... [latex]F.I.[/latex]

Évidemment, intuitivement, on se dit que c'est l'exponentielle qui va gagner ce combat de titans, et donc que ça va tendre vers 0... Il est facile d'avoir une confirmation graphique aussi... Mais comment le montrer proprement ?
On a la même chose de l'autre côté, en [latex]-\infty[/latex].

On sait quelques choses :
[TeX]\lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}} = +\infty[/TeX][TeX]\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^{x}}} = 0^+[/latex] (et oui, logique, si la précédente est vraie !)

[latex]\lim_{x\to -\infty} x\:e^{x} = 0^-[/TeX]
J'ai essayé de factoriser, de simplifier... En vain...
Je suis à l'écoute de vos propositions pour réussir à trouver ses limites !