Vous connaissez tous le jeu du solitaire, où le but du jeu est de ne laisser qu'une seule bille à la fin. Je vous en propose une version où toutes les billes sont alignées.

Parmi les 10 configurations suivantes, lesquelles permettent de ne laisser qu'une seule bille à la fin en jouant bien (configurations gagnantes) et lesquelles ne le permettent pas, quelle que soit la stratégie employée (configurations perdantes) ?

Une bille est représentée par un O et un emplacement vide entre deux billes par un X. Il y a autant d'emplacements vides que voulus à gauche et à droite des billes extrémales.

1) OOOOOOXXXOOOOOO

2) OOOOOOOOOOOXXO

3) OOOOOOOOOOOO

4) OXOOOOOOOOOOXO

5) OOOOOOOOOOXXOO

6) OOOOXXOOOOXXOOOO

7) OOOXOOOXOOOXOOO

8) OOOOOOXOOOOXOO

9) OOOOXOOXOOOOOO

10) OOOOXOOOOOOXOO

Pour les configurations perdantes, il faudrait trouver un argument démontrant que c'est impossible de ne laisser qu'une seule bille à la fin, quelle que soit la stratégie employée.

De façon générale, sauriez-vous trouver un critère simple permettant de savoir très rapidement si une configuration est gagnante ou perdante ?