@Jackv :
En utilisant tes notations de #12, la force d'attraction de la terre sur la corde est de
M * g * (Rt / (Rt+L))² en réduisant la corde à un point
M * g * Rt / (Rt+2*L) en intégrant

Ces deux expressions sont équivalentes si L est très petit devant Rt, ce qui n'est pas le cas ici.

Bonsoir Jackv,
Ton calcul de la force d'attraction de la terre sur la corde suppose que cette dernière est réduite à un point situé en son milieu. Il en résulte que le milieu de ta corde est situé sur une orbite géostationnaire.
Il faut à mon avis sommer les forces d'attraction le long de la corde. C'est ce que j'ai fait en #9 (sans détailler les calculs), et j'obtiens une corde environ de longueur double.

Je ne m'attarde pas sur le fait qu'on se trouve bien sur l'équateur (à quelle altitude ?).
En ce qui concerne le calcul de la longueur de corde, commençons par faire le point :

On se trouve à une distance Rt du centre de gravité de la terre.
                     Admettons Rt = 6.367E6 m.
Soit g l'accélération de la pesanteur en ce point, g = 9.80 N/Kg
Soit w la vitesse de rotation de la terre : w = 2 pi / 86400  = 0.727-6 rd/s
Soit L la demi-longueur de la corde en m (non négligeable devant le rayon de la terre) et m sa masse linéique en Kg/m.
On fera l'hypothèse que sa masse M = 2 m * L reste négligeable devant celle de la terre.

Avec cette hypothèse, on peut considérer que la gravité g' au milieu P de la corde est de la forme :
         g' = g * (Rt / (Rt+L))²
et la force de gravité appliquée sur la corde est donc  :
    Fg = M * g'  =  2 L * m * g * (Rt / (Rt+L))²       (1)

                             
Pour que la trajectoire du centre de gravité P de la corde reste circulaire, il faut lui appliquer un effort centripète F

F = M * w² * R , avec R = Rt + L  et  M = 2 m * L , soit :

    F = 2 m * L * (2 pi / 86400)² * (Rt + L)    (2)

En identifiant la force de gravité à l'effort centripète (équations (1) et (2) ) :

    2 L * m * g * (Rt / (Rt+L))²  =  2 m * L * (2 pi / 86400)² * (Rt + L)

    (Rt+L)^3  =  (86400² * g * Rt²) / (2 pi)²

    (Rt+L) = 42.194E6 m     2 L = 71.65E6 m

En supposant une masse linéaire de 1 kg/m,                    M = 71.65E6 kg

Cette masse est bien négligeable devant celle de la terre Mt = 5,972E24 kg



Vérification :
    g' = g * (Rt / (Rt+L))²  = 0.223 N/kg
Force de gravité : Fg = M * g'      = 15.988E6 N

Force centripète : F = M * w² * R  = 15.988E6 N

Juste un petit conseil shadock.
Je ne sais pas si tu envisages de passer les concours de l'ENS et polytechnique mais bien qu'étant un simple faqueu en physique théorique j'ai perçu la différence entre les deux. Sur le même problème un normalien va te faire des analogies qui vont lui permettre d'avoir la solution globale du problème en deux temps trois mouvements, le polytechnicien va diagonaliser des matrices et va avoir le coefficient exact devant l'équation. Devine qui gagne.
Quand j'étais à la fac, j'avais une prof en option en maitrise qui était responsable du DEA de physique moléculaire soit l'un des  DEA classieux de l'époque (physique théorique, quantique, des solides et moléculaire). Son exam de maitrise interdisait toutes équations et était libre en temps et en ressource.
Bref, comprends et ne calcule pas.

Euh non pardon je me suis trompé elle n'est pas nulle, mais elle est colinéaire au vecteur g donc le vecteur poids de la corde passe forcément par le centre de la Terre !