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Ebichu · Résumé de la discussion

Voici la première d'une série d'énigmes tournant autour du même sujet. Certaines seront corsées, car faisant appel à des techniques mathématiques inhabituelles. Mais nous allons commencer par du classique.

n nobliaux sont assis autour d'une table ronde (ce qui sera important plus tard), et se répartissent n-1 chevalières (ce qui est important pour le mauvais jeu de mots du titre). Un nobliau peut avoir plusieurs ou même la totalité des chevalières.

Combien existe-t-il de répartitions différentes de ces n-1 chevalières ?

Pour la bonne compréhension de l'énoncé, deux répartitions peuvent être symétriques et néanmoins différentes : elles ne sont identiques que si chaque nobliau a le même nombre de chevalières dans les deux répartitions.

PS1 : une chevalière est une bague, à ne pas confondre avec la chevaleresse, qui est l'équivalent féminin du chevalier.

PS2 : les chevalières ne sont pas distinctes ; mais les nobliaux, oui. Par exemple, s'il y a 8 nobliaux (et donc 7 chevalières), une répartition possible est [25000000]. Par ailleurs, les répartitions [00000052] ou [02500000] sont deux autres répartitions, différentes de la première.

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Les chevalières de la table ronde (prologue) Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=NickoGecko]Bonjour Je me suis d'abord lancé sur les partitions d'entiers, puis sur le nombre de combinaisons de chacune des décompositions en sommes pour les premiers cas de 2, 3 .... à 6 nobliaux ... [b]exemple pour 3 nobliaux / 2 chevalières, il y a 2 décompositions [/b]possibles: (a) 2 = 2 + 0 + 0 (b) 2 = 1 + 1 + 0 sachant que l'ordre importe, il faut donc chercher le nombre d'"anagrammes" possible de chacune des lignes ci-dessus : pour (a) il y a 3 permutations (3 positions du "2") pour (b) il y a aussi 3 possibilités soit 6 possibilités au total [b]exemple pour 6 nobliaux / 5 chevalières, il y a 7 décompositions [/b]possibles: (a) 5 = 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 (b) 5 = 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 (c) 5 = 3 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 (d) 5 = 2 + 2 + 1 + 0 + 0 + 0 (e) 5 = 2 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 (f) 5 = 3 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 (g) 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 idem le nombre d'"anagrammes" possible de chacune des lignes ci-dessus est : pour (a) : cinq fois le "0", donc 6!/5! = 6 possibilités pour (b) : quatre fois "0" donc 6!/4!= 30 possibilités pour (c) : idem pour (d) : trois fois "0" et deux fois "2" soit 6!/(2!3!) = 60 pour (e) : trois fois "1" et deux fois "1" soit 6!/(2!3!) = 60 pour (f) : 6!/(2!3!) = 60 pour (g) : 6 soit 252 possibilités ... [b][u]En fait j'ai trouvé la généralisation du problème autrement, du côté des "compositions" et en anglais le mot-clé "multiset"[/u][/b] http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset#Counting_multisets [i]capture d'écran zoomable :[/i] [zoom]http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-multiset.jpg[/zoom] C'est la troisième représentation graphique de la distribution de "3 parmi 5" qui illustre le mieux à mon sens le problème posé (à adapter toutefois) [b]du coup la formule donnant le nombre total de manières de répartir k éléments dans un ensemble de cardinal n est : (n+k-1)! / k!(n-1)![/b] Ici on a n nobliaux et k=n-1 chevalières [taille=15][b]La formule devient : [color=red] (2n-2)! / (n-1)!(n-1)! [/color][/b][/taille] On retrouve, pour 2 chevalières et n=3 nobliaux , (4!) / (2! 2!) = 6 pour 5 chevalières et n=6 nobliaux , (10!) / (5! 5!) = 252 merci et intéressant, je vais pouvoir me replonger dans le problème "du pain aux raisins" sur [i]rightanswer[/i] ....! :D (edit : ... que je n'avais pas résolu ... il s'agit de 100 raisins dans 1kg de pâte formant 10 pains - question : et si un pain ne contenant aucun raisin ? ):rolleyes: A+:)[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion Ebichu 12-04-2015 12:44:46 Voici la première d'une série d'énigmes tournant autour du même sujet. Certaines seront corsées, car faisant appel à des techniques mathématiques inhabituelles. Mais nous allons commencer par du classique. n nobliaux sont assis autour d'une table ronde (ce qui sera important plus tard), et se répartissent n-1 chevalières (ce qui est important pour le mauvais jeu de mots du titre). Un nobliau peut avoir plusieurs ou même la totalité des chevalières. Combien existe-t-il de répartitions différentes de ces n-1 chevalières ? Pour la bonne compréhension de l'énoncé, deux répartitions peuvent être symétriques et néanmoins différentes : elles ne sont identiques que si chaque nobliau a le même nombre de chevalières dans les deux répartitions. PS1 : une chevalière est une bague, à ne pas confondre avec la chevaleresse, qui est l'équivalent féminin du chevalier. PS2 : les chevalières ne sont pas distinctes ; mais les nobliaux, oui. Par exemple, s'il y a 8 nobliaux (et donc 7 chevalières), une répartition possible est [25000000]. Par ailleurs, les répartitions [00000052] ou [02500000] sont deux autres répartitions, différentes de la première. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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