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	Forum » Enigmes Mathématiques » Les chevalières de la table ronde (étape 3) Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Ebichu]Félicitations à nodgim pour sa démo, ainsi qu'à enigmatus et dbab3000 pour avoir identifié les meilleures répartitions. Je vous livre comme promis une démonstration que je trouve assez élégante. On commence par se rappeler le corollaire de la démo de Vasimolo dans l'étape 1 : il existe au moins 2 voisins qui ne s'échangent aucune bague dans tout le processus, ce qui fait que la rotondité de la table est en réalité cosmétique, le jeu est un jeu linéaire déguisé. Une fois le jeu terminé, on place donc les nobliaux en ligne de sorte que les deux nobliaux extrêmes ne se soient rien échangé : ainsi, dans [abc...z], a et z ne s'échangent rien au cours de la partie. On va distinguer 2 cas, commençons par le cas où n est impair. On associe un "poids" à chaque bague en fonction de sa position : distance(bague,centre)². C'est-à-dire que les poids sont, en fonction des positions, ...9;4;1;0;1;4;9... Quant au poids de la position, c'est la somme des poids des bagues. Par exemple, la position [0023010] a pour poids 0.9+0.4+2.1+3.0+0.1+1.4+0.9 = 6. Chaque coup va augmenter le poids de la position de 2, car le poids des deux bagues jouées passe de 2x² à (x-1)²+(x+1)²=2x²+2. Le poids minimal d'une position est 0, lorsque toutes les bagues sont en possession du nobliau central : [...00(n-1)00...]. En se rappellant qu'une position finale est du type "tous les nobliaux sauf 1 ont une bague", le poids maximal est le poids de la position [...1110111...] où le 0 est centré. Comme de plus, un argument de symétrie montre que cette position finale est celle à laquelle on aboutit en partant de la position minimale, les parties les plus longues sont celles qui vont de la première à la dernière position. En corollaire, on a la longueur de la partie : somme_{k=1...(n-1)/2} k². Dans le cas où n est pair, c'est toujours le même poids : distance(bague,centre)², mais comme le centre tombe entre 2 nobliaux, cela donne les poids ...25/4;9/4;1/4;1/4;9/4;25/4... La propriété de l'augmentation du poids de 2 est conservée. Les positions de poids minimal sont celles où les bagues sont réparties dans les deux cases centrales, soient celles du type [...00(k)(n-1-k)00...]. Les positions de poids maximal sont celles pour lesquelles c'est un des deux nobliaux centraux qui n'a pas de bague, soit [...111011...] et [...110111...]. Il reste à constater, par récurrence par exemple, que [...00(n/2)(n/2-1)00...] et [...00(n/2-1)(n/2)00...] sont les seules positions minimales aboutissant à une des deux positions maximales, pour conclure la preuve.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 30 moutons, ils meurent tous sauf 15, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion Ebichu 28-04-2015 22:15:51 Nos n nobliaux sont décadents ; il se réunissent pour échanger leurs bagues, mais ce n'est qu'un prétexte à de continues libations. Qu'importe, de toute façon ? Ils sont désormais convaincus que l'ordre de leurs échanges n'a aucune espèce d'importance. Afin de se consacrer du mieux qu'ils peuvent à l'étude de la philosophie hédoniste, ils désirent prolonger la soirée le plus qu'il est possible. Quelle stratégie leur conseilleriez-vous au moment de répartir les (n-1) chevalières entre eux, avant de commencer les échanges ? (De manière moins pédante : comment placer les (n-1) bagues pour que la partie soit la plus longue possible ?) Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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