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	Forum » Enigmes Mathématiques » Le tennis, c'est de la balle ! Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=dylasse]J'ai d'abord compris le problème comme ça : on joue avec 4 balles et on va en chercher UNE lorsque les 4 sont perdues. Quelle est la distance moyenne de la balle la plus proche ? La proba que la balle 1 soit à la distance x est dx/100 (loi uniforme sur 0-100). La proba que la balle 2 soit au-delà de x est (100-x)/100, idem pour la 3 et la 4. Donc la proba que la balle 1 soit à la distance x et soit la plus proche est dp1(x) = dx/100 [(100-x)/100]^3. Les 4 balles jouent des rôles symétriques, donc la proba que la balle la plus proche soit à la distance x est dp(x) = 4 dp1(x). La valeur moyenne M de la distance de la balle la plus proche est l'espérance de x, c'est à dire Intégrale[x dp(x)] entre 0 et 100. Le calcul donne M = 20 pieds. On peut aussi comprendre le problème autrement. On commence à jouer avec 4 balles et dès que les 4 sont perdues, on va chercher la plus proches (M=20) puis on rejoue et dès que l'on perd la seule balle en jeu, on retourne chercher la plus proche. A part la première fois, la répartition des balles n'est plus uniforme. Au fur et à mesure, la balle la plus proche parmi les 3 restantes sera de plus en plus loin (elle recule à chaque fois que la nouvelle balle perdue la dépasse et ne se rapproche jamais). La position limite des 3 balles restantes est donc à 100 pieds. Et à la fin (au bout d'un certain temps), on ne va plus chercher que la dernière balle perdue, la moyenne est donc de 50 pieds (comme lorsque l'on joue avec une seule balle). Pour la question Bonus, je ne suis pas sure que l'on pourra démontrer que l'on a trouvé le minimum parmi toutes les stratégies possibles. Une stratégie basique consiste à aller chercher les 4 balles à chaque fois que l'on a perdu les 4. Dans ce cas, la plus loin sera à une distance moyenne de 80 pieds (par symétrie de la plus proche calculée au début). Et donc, la distance moyenne parcourue sera 80 pieds pour 4 balles donc de 20 pieds par balle. Je vais réfléchir à des stratégies où on laisserait la ou les balles les plus loin pour ne les ramasser que lors d'un voyage suivant. Si les lancers successifs sont à 98,5,3,4,97,99,100,2,30 etc... prendre 3,4 et 5 au premier voyage, puis 97,98,99 et 100 au second donne une distance de 105 pour 7 balles, soit 15 pieds par balle alors que la stratégie basique (4 à chaque fois) donne 199 pour 8 balles, soit 24,875 pieds par balle. Mais ça c'est facile à dire a postériori. Quelle règle proposer ? a suivre...[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion fix33 26-07-2015 17:14:29 J'emmène mes enfants jouer au tennis. Ce sont des débutants. Ce sujet m'est venu en allant chercher les balles non rattrapées. On considérera qu'une "balle perdue" se placera de façon équiprobable entre 0 et 100 pieds. Il est évident qu'en jouant avec 1 seule balle, sur une infinité de recherches on devra en moyenne parcourir 50 pieds... Question : Mais en jouant avec 4 balles, et en supposant qu'on va toujours chercher la plus proche, combien de pieds devra-t-on en moyenne parcourir ? Toujours 50 ? Question Bonus : Si on s'autorise à aller chercher plusieurs balles à la fois (on suppose qu'il n'y a qu'1 seule dimension), quelle stratégie serait la meilleure pour marcher le moins possible ? Et pour combien de pieds parcourus en moyenne ? On suppose que prendre N balles à la fois revient à N recherches, dont N-1 de longueur nulle. Pas facile, facile ! J'espère que ça vous inspirera car je n'ai pas réponse à tout ! Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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