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	Forum » Enigmes Mathématiques » Prisonniers, ampoules, et durée de jeu + Indices Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]@Franky: je sais. Ceci dit, le problème n'est pas innocent. Souvent, quand il y a des posts liés à des calculs de probabilité / espérance / variance / écart-type / ..., on voit plus souvent du Python que des variables aléatoires :) En plaçant la barre à 10^6, j'élimine le Python :P @emmaenne : le problème initial est le suivant : "Un prisonnier tiré au hasard parmi 100 est amené chaque jour dans une pièce où se trouve une ampoule, allumée ou éteinte, dans l'état dans lequel l'a laissée le prisonnier précédent. Les prisonniers seront libérés si l'un d'eux affirme un jour, avec raison, que tout le monde est déjà passé dans la pièce. Les prisonniers ne communiquent pas entre eux, sauf au tout début, pour mettre au point une stratégie gagnante". La solution à ce problème est : "Le premier prisonnier amené dans la pièce allumera l'ampoule chaque fois qu'elle est éteinte. Les autres l'éteindront la première fois qu'ils la verront allumée, puis n'y toucheront plus. Lorsque le premier prisonnier aura allumé la lumière 100 fois, il pourra affirmer à coup sur que tout le monde est passé.". Ca marche, puisque les 99 prisonniers vont, à terme, éteindre la lumière, tous chacun une et une seule fois. Si le premier l'allume 100 fois, cela signifie donc que les 99 autres sont passés l'éteindre (puisque chacun ne l'éteint qu'une fois). Par contre, si cette méthode marche, elle peut s'avérer longue, les prisonniers étant amenés aléatoirement. Du coup, le problème ici était de trouver la durée moyenne de jeu, en fonction du nombre de prisonniers. Pour deux prisonniers par exemple : le jeu s'arrête quand 1 est passé, puis 2, puis 1 repassé. Chaque prisonnier passe avec une probabilité de 1/2, sauf le 1er jour (qui détermine en fait qui sera le premier prisonnier). Par exemple: > 1 - 2 - 1 (3 jours) arrivera avec une probabilité de 1/4 > 1 - 2 - 2 - 1 (4 jours) arrivera avec une probabilité de 1/8 > 1 - 1 - 2 - 1 (4 jours aussi) arrivera avec une probabilité de 1/8 aussi > 1 - 1 - 1 - 2 - 1 (5 jours) arrivera avec une probabilité de 1/16 > 1 - 1 - 2 - 2 - 1 (5 jours) arrivera avec une probabilité de 1/16 > 1 - 2 - 2 - 2 - 1 (5 jours) arrivera avec une probabilité de 1/16 > 1 - 1 - 1 - 1 - 2 - 1 (6 jours) arrivera avec une probabilité de 1/32 > 1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 1 (6 jours) arrivera avec une probabilité de 1/32 > 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 1 (6 jours) arrivera avec une probabilité de 1/32 > 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 1 (6 jours) arrivera avec une probabilité de 1/32 etc... Plus globalement, - 1 passe, puis repasse un certain nombre de fois - 2 passe, puis repasse un certain nombre de fois - et enfin 1 repasse. Or, et c'est le résultat préliminaire, si un événement se produit avec une probabilité p, alors le nombre de fois consécutives où il se produira est, en moyenne, de p/(1-p). Exemples - tu lances le dé en comptant le nombre de fois où le 6 ne sort pas (5/6) : en moyenne il y aura 5 lancers consécutifs. - pareil, pour sortir pile sur une pièce (1/2), en moyenne tu auras 1 lancer. Donc, là, en moyenne toujours - 1 passe - puis repasse un certain nombre de fois ==> en moyenne 1 fois - 2 passe - puis repasse un certain nombre de fois ==> en moyenne 1 fois - et enfin 1 repasse. Soit 5 fois au total. Pour trois prisonniers, pareil : - 1 passe - puis repasse un certain nombre de fois ==> en moyenne 1/2 fois - 2 passe - puis 2 ou 3 repassent un certain nombre de fois ==> en moyenne 2 fois - 1 repasse. - puis 1 ou 2 repassent un certain nombre de fois ==> en moyenne 2 fois - 3 passe - puis 2 ou 3 repassent un certain nombre de fois ==> en moyenne 2 fois - et enfin 1 repasse. Total : 11.5 passages en moyenne. Et enfin, pour un nombre de prisonniers N, on trouve le résultat ci-dessus.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion scarta 29-07-2015 10:47:27 Bonjour ! Considérons l'énoncé suivant, qui se trouve aussi ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4234 On va faire plus général : on a N prisonniers. Chaque jour, un prisonnier passe dans une pièce où se trouve une ampoule et un interrupteur (auquel personne n'a touché depuis le précédent passage). Le prisonnier est libre de faire ce qu'il veut de l'interrupteur. L'expérience s'arrête quand un prisonnier peut affirmer : "tout le monde est passé dans la pièce". On prendra la méthode de résolution présentée dans le topic sus-mentionné. Je ne la ramène pas ici pour laisser le plaisir de la trouver à ceux qui ne la connaissent pas. La question est la suivante : en fonction de N, combien de jours en moyenne durera l'expérience ? La case réponse valide le nombre moyen de jours pour 1 million de prisonniers, avec 2 chiffres après la virgule Edit : Allez, un indice pour mieux démarrer Spoiler : [Afficher le message] Indice 2 : premiers résultats Spoiler : [Afficher le message] Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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