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	Forum » Enigmes Mathématiques » Le jour de leur première rencontre. Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=unecoudée]bonsoir. et merci aux participants . Je propose deux types de résolutions avec rien d'inextricable et d'indigeste . Solution avec 2 méthodes . [u] première méthode: (avec une équation)[/u] je pose avant toutes les inconnues. x est la longueur du tunnel a est la distance entre saint-anne et le tunnel b est la distance entre saint-brice et le tunnel d = a + b + x est la distance séparant les 2 villages. vm la vitesse de marie dans le tunnel , vj , celle de jean dans le tunnel . Vm la vitesse de marie au grand jour et Vj , celle de jean au grand jour. A la lecture du texte , on constate que marie a effectué sa balade en 3 heures , mais comme elle a marqué 2 temps d'arrêt d'un quart d'heure , elle a donc roulé durant 2h30min. Elle effectue donc une traversée en 1h15min. A 10h15 , elle est arrivée à saint brice. Jean a quitté saint anne un quart d'heure plus tôt après 20min de pose. Il a donc effectué sa traversée en 1h . Par conséquent : a) les vitesses étant constantes et dans le tunnel et au grand jour , le rapport des vitesses est : [latex] \frac{Vj}{Vm} = k = 1.25[/latex] b) ils rentrent la première fois en même temps dans le tunnel , mais marie y reste 1min de plus ; alors on peut conclure avec k=1.25 que jean le traverse en 4 min et marie en 5 min. les vitesses en sont déduites [latex] \begin{cases}v_m&=12x\\v_j&=15x\\V_m&=15x\\V_j&=18.75x\end{cases}[/latex] vitesses exprimées en km/h c) calcul de a , b et d Jean parcours a + b + x en 1h , mais il parcours x en 4 min. Il parcours donc a + b en 56 min. Mais sa vitesse sur a et b étant de 18.75x km/h , alors: [latex] a + b = 18.75x \times{\frac{56}{60}} = 17.5x[/latex] on en déduit d : d = 17.5x + x = 18.5x km Jean est parti 20 min avant marie , et il a déjà parcouru : [latex] L = 18.75x \times{\frac{20}{60}} = 6.25x (1)[/latex] à 9h il leur reste donc à parcourir ensemble 11.25x km avant d'arriver aux entrées du tunnel. On en déduit a et b [latex] a = 11.25x \times{\frac{1}{1+k}} = 11.25x \times{\frac49} = 5x [/latex] et [latex] b = 18.5x - 5x - x = 12.5x [/latex] ce qu'on connaît maintenant. Les vitesses en km/h [latex]\begin{cases}v_m&=12x\\v_j&=15x\\V_m&=15x\\V_j&=18.75x\end{cases}[/latex] Les distances en km [latex]\begin{cases}a&=5x\\b&=12.5x\\d&=18.5x\end{cases}[/latex] on s'occupe seulement du retour des tourtereaux. A 10h15 , lorsque marie démarre de saint-brice , jean a déjà quitté saint-anne depuis un quart d'heure. Marie va parcourir (12.5x - 6) km à grande vitesse . Jean va parcourir (5x + 6) à grande vitesse et x à petite vitesse. d'où l'équation de temps: "t" (exprimé en heure) étant le temps écoulé entre 10h , heure de départ de jean et l'heure de rencontre. [latex] t = \frac14 + \frac{12.5x - 6}{15x} = \frac{5x + 6}{18.75x} + \frac{x}{15x}[/latex] donne après toutes les simplifications : 75x = 72 donc x = 0.96 km t = 0h 40 min ; la rencontre est effectuée à 10h 40min. On calcule toutes les inconnues pour vérifier par la suite. [latex]\begin{cases}v_m&=11.52km/h\\v_j&=14.4km/h\\V_m&=14.4km/h\\V_j&=18km/h\end{cases}[/latex] [latex]\begin{cases}a&=4.8km\\b&=12km\\d&=17.76km\end{cases}[/latex] _ [u]seconde méthode: (basée sur l'observation)[/u] 1) l'épisode de la première traversée du tunnel. Comme ci-dessus on en tire les 4 vitesses. 2) le décalage de 20min. On peut remarquer que jean part à 8h 40 , 20 min avant marie et fait une pause de même durée ( 20 min). Cela signifie que si les 2 tourtereaux s'envole à 9h , si jean ne fait pas sa pause , alors le lieu et l'heure de rencontre restent inchangés. 3) les distances cumulées. On remarque aussi que dans ce cas , s'ils partent tous les deux à 9h , en 1 h15 (à 10h15) ils ont parcouru 9/4 de d (d = distance séparant les 2 villages) On s'aperçoit aussi qu'au moment de la rencontre sur le chemin du retour ils ont parcouru à eux deux 3d . Ainsi l'heure de rencontre s'effectue à : [latex] 9h + 1h 15min \times{\frac43} = 10h 40min[/latex] soit 25 min après que marie soit partie de saint-brice . 4) le rapport des vitesses (k) est l'inverse du rapport des temps : (1/k) On sait aussi que marie parcourt en 25 min la même distance que jean en 20 min. Et c'est la distance qu'il avait parcourue à 9h . A 9h Jean se trouve donc au panneau indiquant les 6 km . Et à ce moment là marie quitte sainte-anne , comme ils vont se retrouver en même temps aux entrées du tunnel , on en conclut que : [latex] \frac{6}{a} = k = 1.25 [/latex] on en déduit a = 4.8 km . Maintenant , sur le chemin du retour , à partir de 10h 40 , marie et jean se retrouvent à 6+4.8+x km de st-anne soit (10.8 + x) km dont x (le tunnel) sont parcourus en 5min par marie et 10.8 sont parcourus en 45min. par marie (1h15min - 0h25min - 0h5min) sur ce tronçon de 10.8km marie roule à grande vitesse : 15x km/h . Si elle zappe ses 2 quarts d'heure de pause : Alors: [latex] 15x = 10.8\times{\frac{60}{45}} = 14.4 [/latex] alors x = 0.96 km . Et le raisonnement eût été le même si on avait travaillé avec jean sur l'aller . il lui serait resté 10.8 km à parcourir en 36 min 36 = ( 60 - 20 - 4) à la vitesse de 18.75 km/h [latex] 18.75x = 10.8\times{\frac{60}{36}} = 18 [/latex][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 20ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion unecoudée 20-11-2015 15:23:31 bonjour. marie et jean sont en couple et se souviennent du premier jour où ils ont fait connaissance. -marie _ ce jour là , moi je partais à bicyclette à 9h de saint anne -jean _ moi je quittais saint brice à 8h40 à vélo aussi et nous sommes arrivés en même temps aux entrés du tunnel ; moi côté saint brice et toi côté saint anne . Et on a du aussi mettre la dynamo en marche pour s'éclairer , ainsi dans le tunnel nos vitesses respectives ont chuté de 20% . -marie _ quand tu as quitté le tunnel , j'ai du y rouler encore 1 minute avant d'en sortir . -jean_ quand je suis arrivé à saint anne je me suis reposé 20 minutes avant de repartir chez moi . -marie_ moi , une fois arrivée à saint brice je repartais aussitôt , alors que toi tu étais déjà parti de saint anne depuis un quart d'heure . -jean_ alors nous nous sommes croisés pour la seconde fois en plein jour cette fois ci et nous avons fait rapidement connaissance. nous avons fait une petite pose d'un quart d'heure le temps de nous refiler nos adresses et n° de téléphone. A cet endroit sur un panneau était écrit : tunnel à 6 km . -marie_ oui , et moi je me suis à nouveau arrêtée un quart d'heure peu après la sortie du tunnel pour admirer des flamboyants. et je suis arrivée à midi tapant chez moi à saint anne. -jean_ quand je pense que je suis né à saint brice et je ne connais toujours pas la longueur de ce tunnel , et toi ? -marie _ avec les infos que nous avons échangées , je pense qu'on doit être en mesure de la déterminer, non ? puisque nous roulions à vitesses constantes , et dans le tunnel , et au grand jour. Qu'en penses-tu ? Et vous ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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