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	Forum » Enigmes Mathématiques » Entiers sans zéro Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=nodgim]Merci à tous les participants d'avoir sué sur cette énigme pas facile. Et pour cause: il s'agit d'un problème posé en Olympiades internationales. Même si c'est du niveau Lycée, c'est tout de même adressé aux meilleurs. Mention particulière à Gwen et Masab qui ont pu brillamment en venir à bout, à l'aide de sommes de nombres composés uniquement d'une succession de 9. J'avais perso cru tenir une solution sans les 9, mais elle s'est avérée fausse en partie. Je donne pour info la démarche que j'avais entreprise. 1) Un nombre n de k chiffres est divisible par un nombre m si on construit n en additionnant des m à n'importe quel rang. Par exemple, pour 5 chiffres, la somme de ces 6 nombres: 12000+ 01200+ 00120+ 00012+ 12000+ 01200= 26532 qui est divisible par 12. 2) La somme des chiffres du résultat n vaut k fois la somme des chiffres de m si on a construit n avec k fois m et si on s'est arrangé pour qu'à aucun rang l'addition ne dépasse 9. S(n) = k * S(m) 3) Compte tenu de 1) et 2), il suffit d'additonner m/S(m) fois un nombre m divisible par S(m) pour obtenir un nombre n dont la somme des chiffres est m et divisible par m. Par exemple 111=373. Il suffit d'additionner 37 fois 111 en répartissant correctement sur k chiffres pour obtenir un nombre divisible par 111. Le problème qui reste à résoudre est de savoir combien de chiffres au MIN. doit avoir n pour accueillir k fois m sans qu'aucun rang de l'addition des km ne dépasse 9. Et combien de chiffres au MAX n peut avoir pour qu'il n'y ait aucun zéro dans le nombre n. Pour le cas de l'exemple 111: MIN pour 3 chiffres: 999. ratio R pour un rang: 3/27=1/9. Nb MIN= mR = 111/9=12,3.. on prend bien sûr la valeur modulo 3 supérieure (car 111 comporte 3 chiifres) donc 15. Le nombre 111 999 999 999 999 a une somme de chiffres 111 et est divisible par 111. MAX pour 3 chiffres: 111. ratio R=3/3=1. Nb MAX= m R= 111/1= 111. On peut écrire un nombre de 111 chiffres MAX divisible par 111 et ayant pour somme de chiffres 111. Donc pour 15 <= k <= 111, on a toujours une solution par le diviseur 111. Il faut maintenant trouver les bons nombres pour qu'il y ait superposition d'intervalle. Avec 12 MIN pour 2 chiffres: 48 R=2/12=1/6 ---> MIN=12/6 = 2. MAX: R=2/3 MAX = 122/3= 8 Résolu pour 2 <= k <= 8 par le diviseur 12. Avec 21 MIN: 84, R=1/6 ---> MIN=21/6=4. MAX: R=2/3 MAX= 14. 4 <= k <= 14 par 21. Avec 111: 15 <= k <= 111 Avec 201: MIN: 804+ 0804= 8844 R=4/24=1/6---->MIN= 201/6=33,5--->36. MAX 201+ 0201= 2211 R=2/3 ---->MAX=134 Avec 201, solutions pour 36 <= k <= 134. Avec 1002, solutions pour 168 <= k <= 668 Avec 2001, solutions pour 336 <= k <= 1334 Avec 10002,solutions pour 1670 <= k <= 6668 Général Avec 100...002 solutions pour 166...6667 <= k <= 666...667 environ Avec 200...001 solutions pour 33...33336 <= k <= 133...3337 environ Il existe un vide entre 133... et 166.. soit environ 3,5 % d' inconnues.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 42ème, en quelle position êtes-vous ?* Retour Résumé de la discussion nodgim 08-02-2016 11:06:18 Bonjour à tous, Je vous propose aujourd'hui une énigme qui m'a bien résisté, alors comme je ne suis pas égoïste, il n'y a pas de raison de ne pas partager.... Pour un entier à k chiffres sans aucun zéro, est ce qu'on peut toujours en trouver un dans le lot qui soit divisible par la somme de ses chiffres ? Bonne recherche. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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