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	Forum » Enigmes Mathématiques » L'indice de l'air Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=nodgim]Le temps est maintenant écoulé, la réponse correcte a été donnée plusieurs fois, elle mérite tout de même quelques justifications. Le nombre d'étapes maximum pour un nombre donné correspond au nombre de chiffres quand celui ci est écrit en binaire, et le nombre minimum d'étapes correspond au nombre de chiffres quand il est écrit en base 3. Pour découvir la solution, il faut observer les étapes en décomposant toujours le résultat. Il est d'abord à remarquer que le 1er nombre de la suite est pair, et tous les suivants jusqu'à 1. Ceci est dû au fait qu'un p-1, pour tout p > 2, est pair. Quand on substitue un p-1 à un p, dans l'opération élémentaire (1-1/p), on fait apparaitre 2 dans la décomposition du résultat. Et donc, comme un 2 présent dans une décomposition divise par 2 le nombre suivant (1-1/2) = 1/2, chaque étape, sauf la 1ère, divise au minimum le nombre suivant par 2. Aussi, le nombre maximum d'étapes pour un nombre donné ne peut dépasser le nombre d'étapes de la puissance de 2 qui lui est supérieure. Le facteur premier, après le 2, qui contribue le mieux raccourcir le nombre d'étapes est le 3, car (p-1)/p est le plus éloigné de 1 pour p = 3. De plus, 3 se transforme en un seul 2, à la différence de 5 par exemple, qui en se transformant en 4, donne 2 fois le 2. Pour 5, il faut passer par 4 puis 2 avant d'arriver à 1, alors que 3 ne passe que par 2. De même, on peut avec beaucoup de facteurs premiers, éloigner le rapport de diminution de 1, mais en contre-partie, on crée autant de 2 qui vont ajouter des étapes. En gros, un facteur premier impair crée au moins une étape supplémentaire par la création d'un 2. On n'a donc pas intérêt à multiplier les facteurs premiers, mais à se concentrer sur le plus performant. C'est la raison pour laquelle un nombre de la forme 2 3^n est celui qui exige le minimum d'étapes : le nombre suivant est divisé par 3 jusqu'à obtenir le nombre 2. Merci aux participants et félicitations à ceux qui ont trouvé l'intervalle minimum.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion nodgim 15-10-2016 10:33:56 Bonjour à tous. Cette énigme ne requiert aucune connaissance particulière, niveau Lycée. Soit la suite uo = m entier naturel et u ( n + 1 ) = phi (u n ). On arrête la suite quand u (k) = 1. où phi (m) est la fonction indicatrice d' Euler, celle qui calcule le nombre de nombres premiers avec m et < m. On donne la formule : phi ( m ) = m * (1-1/p1)*(1-1/p2).....où p1, p2, ...sont les facteurs premiers de m. Trouvez l'intervalle, fonction de m, le plus étroit possible pour la valeur de k. Bon amusement. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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