Écrire une réponse @ Prise2Tete

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

	Forum » Enigmes Mathématiques » Cube et diviseurs Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=nodgim]Bon, peu de réponses sur ce sujet. Peut être un peu trop académique ? On peut lire la solution d'Ebichu qui donne plusieurs solutions possibles parmi les plus petites. Pour la généralité, Ebichu a donné aussi une réponse, j'ajoute la mienne un peu plus synthétique, pas forcément plus abordable. Bonne année 2018 @ tous ! -------------------------------------------------------------------------------------------- Le nombre de diviseurs d(n) de n est le produit des ( pi+1 ), i de 1 à k, si p1, p2.....pk sont les puissances des nombres premiers de 1 à k qui composent n. Le nombre de diviseurs d(n^3) de n ^ 3 est le produit des (3pi+1). Dans quel cas peut on avoir d ( n^3 ) = C d(n) ? Si d(n) est un multiple de 3, d(n^3) ne peut pas l'être puisque il est +1 modulo 3. C ne doit pas être muliple de 3 Si C est une puissance de 2, alors il suffit que p1 = p2 = ...pk = 1 car dans ce cas, d(n) = 2^k et d (n ^3 ) = 4 ^ k = (2 ^k) * d(n). Comme toutes les parités de C peuvent être assurées, on ne s'intéresse qu'à C impair. On peut toujours trouver C dans les autres cas par l'algorithme suivant. On dit que C = C0 et on le remplacera par C1, puis C2, puis C3.... en opérant ainsi : 1) On cherche le plus petit multiple aC0 ( a = 1, 2, 4 ou 8 ) tel que aC0-1 est divisible par 3 et (aC0-1) / 3 + 1 n'est pas divisible par 3. 2) On recommence l'opération 1) à partir de C1 =( aC0-1) / 3 + 1, ou plus exactement C1 auquel on a ôté ses parités. Il faut démontrer que Cx est plus petit que C0 au bout de x itérations, ce qui permettrait à terme d' aboutir à Cx = 1 Cas 1 : C0 = 2 * 3 ^ j * k + 3 ^ j - 2 avec k différent de 1 [3] C0 non utilisable tel que car (C0-1) / 3 + 1 divisible par 3. Il faut 4C0. -Dans d(n^3) : 3 ( 2^3 * 3^(j-1) k + 2² * 3^(j-1) - 3 ) + 1 -Dans d(n) C1 = 2^3 * 3^(j-1) k + 2² * 3^(j-1) - 2 De la même forme que C0 avec les puissances de 2 incrémentées de 2 points et les puissances de 3 diminuées de 1 point. On réitère alors l'opération ci dessus jusqu'à la dernière puissance de 3 : C(j-1) = 2^(2j-1) * 3 k + 2^(2j-2) * 3 - 2. Utilisable directement. -Dans d(n^3) : 3 ( 2^(2j-1) * k + 2^(2j-2) -1 ) + 1 -Dans d(n) : C(j) = 2^(2j-1) * k + 2^(2j-2) ---------> 2 k + 1. C(j) < C0 et les facteurs pairs utilisés dans les d(n^3) successifs compensés par le dernier d(n). Cas 2 : C0 = 2 * 3^j * k - 1, avec k premier avec 3. 2C0 amènerait un C1 divisible par 3. On doit donc prendre 8C0. 8C0 : - dans d(n^3) : 3 ( 2^4 3 ^ ( j - 1 ) * k - 3 ) + 1 - dans d(n) C1 = 2^4 * 3 ^ ( j - 1 ) * k - 2--------> 2^3 * 3 ^ ( j - 1 ) * k - 1 C1 est de la même forme que C0, sauf que la puissance de 2 a été incrémentée de 2 unités, et la puissance de 3 diminuée d'une unité. L'opération ci-dessus est réitérée jusqu'a épuisement des puissances de 3. C(j-1) = 2^(2j+1) * 3 k - 1 On utilise alors 2C(j-1) : -dans d(n^3) : 3 ( 2^(2j+2) k - 1 ) + 1 -dans d( n) : C(j) = 2^(2j+2) * k -----> k après suppression des parités. C(j) < C0 et les facteurs pairs utilisés dans les d(n^3) successifs compensés par le dernier d(n).[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion nodgim 26-12-2017 10:53:43 Bonjour @ tous. Une recherche de fin d'année pas trop méchante : Trouver un nombre tel que son cube possède 2017 fois plus de diviseurs que lui. Trouver un nombre tel que son cube possède 2018 fois plus de diviseurs que lui. Dans le décompte des diviseurs, 1 et le nombre lui même sont pris en compte. Wolfram peut sans doute vous aider, mais c'est mieux à la main.... Pour les plus inspirés d'entre vous : Pour un coefficient multiplicateur donné entre le nombre de diviseurs de n et celui de n^3, existe t'il toujours une solution pour n ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact