Bonjour à tous, je me suis éloigné du forum pendant un moment, dû à un manque de temps.
Voici une petite énigme pour me faire pardonner:

Dans un livre présentant un certain nombre de patiences et réussites avec des cartes, la première se présente comme suit:

Prendre un paquet de 32 cartes, le mélanger, puis parcourir le paquet en nommant successivement chaque valeur de carte (As, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As, 7, 8 ...).
Si l'une des cartes tirées correspond à la valeur appelée, cette carte est retirée du jeu.

Une fois le paquet parcouru, on le reprend dans le même sens (sans le mélanger) et on répète le processus. La patience est considérée comme réussie si toutes les cartes ont été tirées du jeu.

Si lors d'un parcours des cartes, aucune carte du jeu n'est sortie, la patience est perdue, car chaque étape suivante sera identique, et ne fera pas diminuer la taille du paquet.

Exemple:
Supposons qu'il reste les cartes As,8,7,9,Dame dans le paquet
Un appel retirera les cartes 1 et 9
Le paquet sera donc 8,7,Dame
L'appel suivant retirera le 7.
Il restera donc 8 et Dame. La patience s'arrête alors car aucune carte ne pourra plus être sortie.

Il est important de noter qu'il n'y a strictement aucune stratégie, le résultat de la patience est défini dès le début.

Je pense qu'il ne vous faudra pas beaucoup de temps pour vous convaincre que la probabilité de gagner est très très faible

Cependant, le problème semble intéressant mathématiquement.

On peut donc considérer le problème généralisé suivant:

Supposons que l'on ait un paquet de carte ou chaque carte possède un numéro entre 1 et n. Pour chaque n, il existe k cartes possédant cette valeur.

Parmi tout les mélanges possibles, combien de mélanges aboutissent à une victoire?

J'ai trouvé la solution pour n=2, la méthode pour le prouver est assez élégante, donc je laisse un peu de temps pour chercher en réponses cachées.
Edit: J'ai également trouvé la solution pour k=2, qui est accessible également

Pour n > 2, le problème est beaucoup plus compliqué et je n'ai pas de réponse, je suis curieux de voir vos pistes.

Un indice dans le cas n=2:
Spoiler : [Afficher le message] Étant donné un configuration gagnante, démontrer que parmi les i premières cartes du jeu (sans en enlever), il y a plus de 1 que de 2