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Ebichu · Résumé de la discussion

Bonjour à tous,

voici un problème dont j'ai eu l'idée en repensant à un vieux gâteau : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=12823

C'est un problème pour les petits malins : on peut s'en tirer avec des calculs niveau école primaire, mais il faut de l'astuce pour en venir à bout.

On place 4 points sur une sphère, chacun indépendamment des autres, selon la loi de probabilité uniforme sur la sphère. Quelle est la probabilité que les 4 points appartiennent à un même hémisphère ?

Quelques précisions. Les points sont choisis selon la loi uniforme, c'est-à-dire qu'étant donné une partie E de la sphère S, la probabilité qu'un point appartienne à E vaut aire(E)/aire(S) : aucune zone de la sphère n'est favorisée par rapport à une autre. Quant à l'hémisphère, il n'est pas choisi avant les points, on peut reformuler la question ainsi : "quelle est la probabilité qu'il existe un hémisphère, tel que les 4 points appartiennent à cet hémisphère ?"

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Sphère et probabilités Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=TOUFAU]Pour être plus robuste dans mon raisonnement, je regarde le découpage de la sphère par les 3 grands cercles passants chacun par 2 des 3 premiers points positionnés. Sauf cas d’alignement des 3 points (sans intérêt statistique), les cercles se coupent deux à deux, en 6 points du coup. Ce qui va définir des quartiers sur la sphère (triangles sphériques). Chaque point est commun à 4 triangles, et chaque triangle a 3 points. Donc 64/3 = 8 quartiers en tout (normal, 2^n). Un seul est interdit dans notre cas. En moyenne, aucune raison qu’un des quartiers soit plus grand ou plus petit que les autres. Donc un quartier fait en moyenne 1/8 de sphère. D’où la réponse (7/8) au problème posé.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 20 moutons, ils meurent tous sauf 12, combien en reste-t-il ?* Retour Résumé de la discussion Ebichu 02-06-2019 10:23:21 Bonjour à tous, voici un problème dont j'ai eu l'idée en repensant à un vieux gâteau : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=12823 C'est un problème pour les petits malins : on peut s'en tirer avec des calculs niveau école primaire, mais il faut de l'astuce pour en venir à bout. On place 4 points sur une sphère, chacun indépendamment des autres, selon la loi de probabilité uniforme sur la sphère. Quelle est la probabilité que les 4 points appartiennent à un même hémisphère ? Quelques précisions. Les points sont choisis selon la loi uniforme, c'est-à-dire qu'étant donné une partie E de la sphère S, la probabilité qu'un point appartienne à E vaut aire(E)/aire(S) : aucune zone de la sphère n'est favorisée par rapport à une autre. Quant à l'hémisphère, il n'est pas choisi avant les points, on peut reformuler la question ainsi : "quelle est la probabilité qu'il existe un hémisphère, tel que les 4 points appartiennent à cet hémisphère ?" Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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