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	Forum » Enigmes Mathématiques » 3 fractions égyptiennnes Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=nodgim]Ce que j'ai trouvé, et c'est loin d'être finalisé..... ===================================== 1 / p = somme de 3 fractions égyptiennes ( FE ) avec p > 10. ===================================== Lemme ( 1 / n ) - ( 1 / (n+d) ) = d / ( n ( n+d) ) est réductible en FE ssi d est un diviseur de n² ( on pose d <= n ) Le nombre de solutions pour 1 / n comme somme de 2 FE est donc la moitié + 1 du nombre de diviseurs de n². ===================================== Si n = p, 2 solutions : 1 / p = 1 / 2p + 1 / 2p 1 / p = 1 / (p+1) + 1 / ( p ( p + 1 ) ) Pour 1 / 2p ou 1 / (p+1) comme somme de 2 FE : 5 solutions chacun (si, pas de chance, p+1 est le double d'un nombre premier). Pour 1 / ( p ( p + 1) ) comme somme de 2 FE : 14 solutions (si pas de chance, p+1 est le double d'un nombre premier). 24 SOLUTIONS ===================================== 1 / p = 1 / ( p + 2 ) + 2 / ( p ( p + 2 ) ) 2 / ( p ( p + 2) ) est somme de 2 FE ssi d impair divise le carré de p ( p + 2 ) dans la FE : 1 / ( p ( p + 2) + d ) / 2 . Comme p et p+1 ont été considérés comme premiers avec 3, alors 3 I ( p + 2 ) . ( Remarque: si on considére 3 I ( p + 1 ) au lieu de ( p + 2) le nombre total est plus important ) . Comme p ( p + 2 ) est impair, tous les diviseurs également. Donc p ( p + 2 ) + d est toujours pair. On applique alors directement le lemme. 14 SOLUTIONS ===================================== 1 / p = 1 / ( p + 3 ) + 3 / ( p ( p + 3 ) ) 3 / ( p ( p + 3) ) est somme de 2 FE ssi d divise le carré de p ( p + 3 ) dans la FE : 1 / ( p ( p + 3) + d ) / 3 et si d = -p ( p + 3) modulo [3] p et p + 3 = 1 [3] dans notre hypothèse, donc le produit également, donc il faut d = 2 [3]. Par ailleurs, p + 1 ayant été supposé divisible par 2 seulement, p + 3 est divisible par 4 p + 3 = 4 q avec q au pire premier. Les diviseurs de ( 4 p q ) ² qui conviennent sont : { 2, 8, 2p, 8p, 2q, 8q, 2pq, 2q², 8q² } Remarque : pour p = 13, on a q = 4, ce qui réduit à 6 solutions au lieu de 9, mais c'est une exception pour ce petit nombre et ça n'obère pas le cas général. Par ailleurs, on sait que 13 donne 59 solutions. 9 SOLUTIONS ==================================== 1 / p = 1 / ( 2p + 1) + ( p + 1 ) / ( p ( 2p + 1 ) ) ( p + 1 ) / ( p ( 2p + 1 ) est somme de 2 FE ssi d divise le carré de p ( 2p + 1 ) dans la FE : 1 / ( p ( 2p + 1) + d ) / ( p + 1 ) et si d = -p ( 2p + 1) modulo [ p + 1] 2 SOLUTIONS : d = { p , 2p+1 } =================================== Etc...... On peut prolonger la liste : Elles entrent toutes dans la méthode proposée ci-dessus, à savoir trouver les diviseurs des carrés de p ( p + k ) qui sont en même temps l'opposé de p ( p + k ) modulo k . Mais celles qui manquent sont plus difficiles à trouver sans connaissance particulière des divisibilités qui dépendent bien entendu de p. On peut ajouter, pour faire un chiffre rond : 1 / p = 1 / 3p + 1/ 3p + 1/ 3p. 50 SOLUTIONS.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 10 moutons, ils meurent tous sauf 9, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion nodgim 30-11-2019 09:16:50 Bonjour @ tous. Pour tout p premier > 10 , de combien de façons différentes au minimum peut-on découper 1/p en une somme de 3 fractions égyptiennes ? Rappel : Une fraction égyptienne est un nombre de la forme 1 / n ( n de N ). Bonne recherche. NB : une recherche systématique par informatique permettrait sans doute de donner une tendance ou un minimum probable. Ce n'est pas ce qui est demandé. Il faut donner un minimum prouvé. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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