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	Forum » Enigmes Mathématiques » Déformation d'un treillis Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=TOUFAU]Bonjour Caduk. Un test simple de rigidité (ou non) du treillis dans son ensemble : vérifier qu’aucun cisaillement entre les cellules de deux de ses coins opposés n’est possible. Le nombre minimum de cellules à rigidifier pour qu’un treillis (n,p) soit rigide : n+p-1. On peut montrer qu’un treillis est rigide <=> deux cellules de coins opposés sont figées l’une vs l’autre (figées= aucun déplacement ou aucune rotation possible). Si deux cellules opposées sont non figées entre elles, le treillis n’est pas rigide, évidemment… Si deux cellules opposées sont figées entre elles, on peut montrer par récurrence que le treillis est rigide. D’abord, la question est de savoir sous quelle condition deux coins opposées sont figés entre eux. Dans les faits, cela signifie qu’un ‘chemin rigide’ existe entre ces deux coins, via des cellules figées entre elles par leurs arrêtes (sinon la rotation reste possible), ce qui propage la contrainte entre les coins. Que les cellules du chemin en question soient rigides de façon forcée ou pas. Pour un treillis (n,1), les cellules opposées sont figées entre elles si toutes les cellules sont rigides, de façon assez immédiate. Le treillis est donc rigide. Pour un treillis (2,2), il faut 3 cellules rigidifiées pour figer les coins opposés entre eux. Dès lors qu’ils sont figés, la dernière cellule l’est aussi, le treillis est rigide. Imaginons que ce soit vrai pour des treillis (n,p) et (n-1,p+1). ie coins opposés figés => treillis rigides. Ajoutons une colonne. Si un des nouveaux coins est figé (forcé ou subi), par exemple celui en (n,p+1), la propagation de contrainte par rapport au coin opposé passe forcément par la cellule (n,p) ou (n-1,p+1), qui doit être aussi figée. Donc le treillis (n,p) ou (n-1,p+1) est intégralement rigide par hypothèse de récurrence. Et par propagation de contraintes, toutes les cellules de la colonne ou de la ligne supplémentaire le sont si la cellule (n,p+1) est figé. Le treillis (n,p+1) est intégralement rigide. Puisque c’est vrai pour (n,1) et (1,2), c’est vrai pour (n,2). Puis pour (1,3) et donc (n,3),… donc pour (n,p) Le test de rigidité par les coins opposés est donc suffisant pour savoir si un treillis est rigide ou pas. Concernant le nombre minimum de cellules à rigidifier, on peut trouver un tas de solutions en rigidifiant uniquement n+p-1 cellules du treillis. Par exemple deux bords adjacents du treillis. n+p-1 est le minimum pour (1,1), (1,2), (2,2). Imaginons que cette règle soit un minima jusqu’à un treillis (n,p-1). En ajoutant donc uniquement 1 cellule rigidifiée à chaque ajout d’une ligne ou d’une colonne. Et imaginons qu’un treillis (n,p) soit le plus petit échappant à la règle (n+p-2 au maximum suffit). C’est-à-dire le même nombre que le minimum pour un treillis strictement plus petit. Cela signifie que l’ajout d’au moins une colonne a été gratuit, sans aucune cellule rigidifiée supplémentaire, puisque par récurrence de construction du treillis plus petit, on n’a ajouté qu’une cellule rigide par ligne ou colonne (pas de ‘gras’). Donc une colonne au moins de notre treillis (n,p) ne contient aucune cellule rigidifiée à priori. Donc aucune cellule rigide dans l’absolu, car la rigidité ‘subie’ ne peut être imposée uniquement par des colonnes adjacentes : mêmes si toutes les cellules des colonnes adjacentes sont intégralement figées, le cisaillement reste possible. De fait le treillis (n,p) ne peut être rigide. Il faut donc à minima n+p-1 cellules rigidifiées pour un treillis (n,p)[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Dans une course, vous doublez le 31ème, en quelle position êtes-vous ? Retour Résumé de la discussion caduk 29-04-2020 17:08:48 Bonjour à tous, On dispose d'un treillis métallique composée de barres toutes de même longueur et agencée de manière à former des cellules carrées. Cependant, les barres peuvent pivoter autour de leurs liaisons et tourner librement les unes par rapport aux autres, mais seulement dans l'axe du treillis (le treillis reste donc contenu dans le plan, les images ne sont donc pas en 3d mais dans le plan, hein ). Les cellules peuvent donc se déformer (comme à gauche). On peut cependant choisir de rigidifier certaines cellules pour les forcer à rester carrées (comme à droite). En rigidifiant certaines cellules, d'autres cellules non rigidifiées deviennent aussi rigide. Par exemple à droite, la cellule touchant trois cellules rigidifiées devient également rigide, car pour la déformer, il faudrait déformer l'une de ces 3 cellules... A quelles conditions l'intégralité d'un treillis sera rigide? Quel est le nombre minimal de cellules à rigidifier pour avoir un treillis intégralement rigide? Peut-on vérifier efficacement si un treillis est intégralement rigide? 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