Voici l'enoncé d'un petit paradoxe que certains d'entre vous ne connaissent peut-être pas encore.

Petit rappel mathématique théorique: tout ensemble non vide d'entiers naturels contient un plus petit élement (en clair, dans une liste de nombre, il y a toujours un minimum).

Considérons l'opération qui à une phrase en français associe un nombre entier naturel. Par exemple "deux" donne 2 et "trois fois trente-trois" donne 99.
On remarque tout de suite qu'un même nombre peut être obtenu de plusieurs manières différentes (par exemple "deux", "deux fois un", "un plus un", ...), mais par contre chaque phrase doit nous donner un nombre unique.

Sachant qu'une phrase est composée des 26 lettres de l'alphabet et des symboles "-" et " ", en utilisant une phrase de 10 caractères on peut décrire au plus [latex]28^{10}[/latex] nombres différents (au plus, car certaines phrases ne voudront rien dire). Il existe donc des nombres qu'on ne peut pas décrire avec 10 lettres, et l'ensemble de ces nombres étant non vide, il admet un minimum.

En appliquant le même raisonnement à 100 lettres, on trouve le même résultat: il existe donc des nombres qu'on ne peut pas décrire avec 100 lettres, et l'ensemble de ces nombres étant non vide, il admet un minimum. Considérons alors la phrase "Le plus petit nombre qu'on ne peut décrire avec cent lettres". Cette phrase désigne un nombre unique, qui existe et qu'on pourrait eventuellement calculer, mais cette phrase fait elle même moins de 100 lettres !

Au final, un nombre qu'on ne peut décrire avec moins de cent lettres peut être décrit avec moins de cent lettres.

Qu'en pensez-vous?