Démontrons que dans une classe tous les élèves ont le même prénom :
Soit P(n) la propriété : Dans une classe de n élèves, tous les élèves ont le même prénom.
Démontrons que P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à 1.
Initialisation :
Si n=1 alors P(1) est vraie car dans une classe de 1 élève, tous les élèves ont le même prénom.
Récurrence :
Supposons P(k) vraie pour tout k inférieur ou égal à n et démontrons que P(n+1) est vraie.
Soit une classe de n+1 élèves. Considérons n élèves de cette classe, ces derniers ont tous le même prénom par exemple Jean car P(n) est vraie. Enlevons de ces n élèves un élève au hasard, il nous reste n-1 élèves et rajoutons le n+unième élève. Nous nous retrouvons donc avec une classe de n élèves, ce qui implique que le n+unième élève ait le même prénom que les autres car P(n) est vraie. Le n+unième élève s'appelle donc Jean également et nous avons démontré que P(n+1) est vraie.

Ou est l'erreur?

Spoiler : aide attention à l'initialisation