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	Forum » Enigmes Logiques » 100 portes, 100 passages Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=gabrielduflot]Pour savoir si la porte est fermée ou ouverte il faut faire la décomposition en facteurs premiers de tous les nombres de 1 à 100. Si le nombre de diviseurs est pair la porte sera ouverte; si le nombre est impair alors la porte sera fermée. [u]Porte 1[/u]: 1 à un seul diviseur donc la porte 1 est [b]fermée [/b] [u]Porte 2[/u]: [latex]2=2^1[/latex] donc 2 a 2 diviseurs donc la porte 2 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 3[/u]: [latex]3=3^1[/latex] donc 3 a 2 diviseurs donc la porte 3 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 4[/u]: [latex]4=2^2[/latex] donc 4 a 3 diviseurs donc la porte 4 est [b]fermée [/b] [u]Porte 5[/u]: [latex]5=5^1[/latex] donc 5 a 2 diviseurs donc la porte 5 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 6[/u]: [latex]6=2^1 \times 3^1[/latex] donc 6 a 4 diviseurs donc la porte 6 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 7[/u]: [latex]7=7^1[/latex] donc 7 a 2 diviseurs donc la porte 7 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 8[/u]: [latex]2=2^3[/latex] donc 8 a 4 diviseurs donc la porte 8 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 9[/u]: [latex]9=3^2[/latex] donc 9 a 3 diviseurs donc la porte 9 est [b]fermée [/b] [u]Porte 10[/u]: [latex]10=2^1 \times 5^1[/latex] donc 10 a 4 diviseurs donc la porte 10 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 11[/u]: [latex]11=11^1[/latex] donc 11 a 2 diviseurs donc la porte 11 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 12[/u]: [latex]12=2^2 \times 3^1[/latex] donc 12 a 6 diviseurs donc la porte 12 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 13[/u]: [latex]13=13^1[/latex] donc 13 a 2 diviseurs donc la porte 13 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 14[/u]: [latex]14=2^1 \times 7^1[/latex] donc 14 a 4 diviseurs donc la porte 14 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 15[/u]: [latex]15=3^1 \times 5^1[/latex] donc 15 a 4 diviseurs donc la porte 15 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 16[/u]: [latex]16=2^4[/latex] donc 16 a 5 diviseurs donc la porte 16 est [b]fermée [/b] [u]Porte 17[/u]: [latex]17=17^1[/latex] donc 17 a 2 diviseurs donc la porte 17 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 18[/u]: [latex]18=2^1 \times 3^2[/latex] donc 18 a 6 diviseurs donc la porte 18 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 19[/u]: [latex]19=19^1[/latex] donc 19 a 2 diviseurs donc la porte 19 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 20[/u]: [latex]20=2^2 \times 5^1[/latex] donc 20 a 6 diviseurs donc la porte 20 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 21[/u]: [latex]21=3^1 \times 7^1[/latex] donc 21 a 4 diviseurs donc la porte 21 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 22[/u]: [latex]22=2^1 \times 11^1[/latex] donc 22 a 4 diviseurs donc la porte 22 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 23[/u]: [latex]23=23^1[/latex] donc 23 a 2 diviseurs donc la porte 23 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 24[/u]: [latex]24=2^3 \times 3^1[/latex] donc 24 a 8 diviseurs donc la porte 24 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 25[/u]: [latex]25=5^2[/latex] donc 25 a 3 diviseurs donc la porte 25 est [b]fermée [/b] [u]Porte 26[/u]: [latex]26=2^1 \times 13^1[/latex] donc 26 a 4 diviseurs donc la porte 26 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 27[/u]: [latex]27=3^3[/latex] donc 27 a 4 diviseurs donc la porte 27 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 28[/u]: [latex]28=2^2 \times 7^1[/latex] donc 28 a 6 diviseurs donc la porte 28 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 29[/u]: [latex]29=29^1[/latex] donc 29 a 2 diviseurs donc la porte 29 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 30[/u]: [latex]30=2^1 \times 3^1 \times 5^1[/latex] donc 30 a 8 diviseurs donc la porte 30 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 31[/u]: [latex]31=31^1[/latex] donc 31 a 2 diviseurs donc la porte 31 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 32[/u]: [latex]32=2^5[/latex] donc 32 a 6 diviseurs donc la porte 32 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 33[/u]: [latex]33=3^1 \times 11^1[/latex] donc 33 a 4 diviseurs donc la porte 33 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 34[/u]: [latex]34=2^1\times 17^1[/latex] donc 34 a 4 diviseurs donc la porte 34 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 35[/u]: [latex]35=5^1\times 7^1[/latex] donc 35 a 4 diviseurs donc la porte 35 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 36[/u]: [latex]36=2^2\times 3^2[/latex] donc 36 a 9 diviseurs donc la porte 36 est [b]fermée [/b] [u]Porte 37[/u]: [latex]37=37^1[/latex] donc 37 a 2 diviseurs donc la porte 37 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 38[/u]: [latex]38=2^1\times 19^1[/latex] donc 38 a 4 diviseurs donc la porte 38 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 39[/u]: [latex]39=3^1\times13^1[/latex] donc 39 a 4 diviseurs donc la porte 39 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 40[/u]: [latex]40=2^2\times 5^1[/latex] donc 40 a 6 diviseurs donc la porte 40 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 41[/u]: [latex]41=41^1[/latex] donc 41 a 2 diviseurs donc la porte 41 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 42[/u]: [latex]42=2^1\times3^1\times7^1[/latex] donc 42 a 8 diviseurs donc la porte 42 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 43[/u]: [latex]43=43^1[/latex] donc 43 a 2 diviseurs donc la porte 43 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 44[/u]: [latex]44=2^2\times11^1[/latex] donc 44 a 6 diviseurs donc la porte 44 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 45[/u]: [latex]45=3^2\times5^1[/latex] donc 45 a 6 diviseurs donc la porte 45 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 46[/u]: [latex]46=2^1\times23^1[/latex] donc 46 a 4 diviseurs donc la porte 46 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 47[/u]: [latex]47=47^1[/latex] donc 47 a 2 diviseurs donc la porte 47 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 48[/u]: [latex]48=2^4\times3^1[/latex] donc 48 a 10 diviseurs donc la porte 48 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 49[/u]: [latex]49=7^2[/latex] donc 49 a 3 diviseurs donc la porte 49 est [b]fermée [/b] [u]Porte 50[/u]: [latex]50=2^1\times5^2[/latex] donc 50 a 6 diviseurs donc la porte 50 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 51[/u]: [latex]51=3^1\times 17^1[/latex] donc 51 a 4 diviseurs donc la porte 51 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 52[/u]: [latex]52=2^2\times13^1[/latex] donc 52 a 6 diviseurs donc la porte 52 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 53[/u]: [latex]53=53^1[/latex] donc 53 a 2 diviseurs donc la porte 52 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 54[/u]: [latex]54=2^1\times3^3[/latex] donc 54 a 8 diviseurs donc la porte 54 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 55[/u]: [latex]55=5^1\times11^1[/latex] donc 55 a 4 diviseurs donc la porte 55 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 56[/u]: [latex]56=2^3\times7^1[/latex] donc 56 a 8 diviseurs donc la porte 56 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 57[/u]: [latex]57=3^1\times19^1[/latex] donc 57 a 4 diviseurs donc la porte 57 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 58[/u]: [latex]58=2^1\times29^1[/latex] donc 58 a 4 diviseurs donc la porte 58 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 59[/u]: [latex]59=59^1[/latex] donc 59 a 2 diviseurs donc la porte 59 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 60[/u]: [latex]60=2^2\times3^1\times5^1[/latex] donc 60 a 12 diviseurs donc la porte 60 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 61[/u]: [latex]61=61^1[/latex] donc 61 a 2 diviseurs donc la porte 61 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 62[/u]: [latex]62=2^1\times 31^1[/latex] donc 62 a 4 diviseurs donc la porte 19 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 63[/u]: [latex]63=3^2\times7^1[/latex] donc 63 a 6 diviseurs donc la porte 63 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 64[/u]: [latex]64=2^6[/latex] donc 64 a 7 diviseurs donc la porte 64 est [b]fermée [/b] [u]Porte 65[/u]: [latex]65=5^1\times13^1[/latex] donc 65 a 4 diviseurs donc la porte 65 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 66[/u]: [latex]66=2^1\times3^1\times11^1[/latex] donc 66 a 8 diviseurs donc la porte 66 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 67[/u]: [latex]67=67^1[/latex] donc 67 a 2 diviseurs donc la porte 67 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 68[/u]: [latex]68=2^2\times17^1[/latex] donc 68 a 6 diviseurs donc la porte 68 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 69[/u]: [latex]69=3^1\times23^1[/latex] donc 69 a 4 diviseurs donc la porte 69 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 70[/u]: [latex]70=2^1\times5^1\times7^1[/latex] donc 70 a 8 diviseurs donc la porte 70 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 71[/u]: [latex]71=71^1[/latex] donc 71 a 2 diviseurs donc la porte 71 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 72[/u]: [latex]72=2^3\times3^2[/latex] donc 72 a 12 diviseurs donc la porte 72 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 73[/u]: [latex]73=73^1[/latex] donc 73 a 2 diviseurs donc la porte 73 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 74[/u]: [latex]74=2^1\times37^1[/latex] donc 74 a 4 diviseurs donc la porte 74 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 75[/u]: [latex]75=3^1\times5^2[/latex] donc 75 a 6 diviseurs donc la porte 75 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 76[/u]: [latex]76=2^2\times19^1[/latex] donc 76 a 6 diviseurs donc la porte 76 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 77[/u]: [latex]77=7^1\times11^1[/latex] donc 77 a 4 diviseurs donc la porte 77 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 78[/u]: [latex]78=2^1\times39^1[/latex] donc 78 a 4 diviseurs donc la porte 78 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 79[/u]: [latex]79=79^1[/latex] donc 79 a 2 diviseurs donc la porte 79 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 80[/u]: [latex]80=2^4\times5^1[/latex] donc 80 a 10 diviseurs donc la porte 80 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 81[/u]: [latex]81=3^4[/latex] donc 81 a 5 diviseurs donc la porte 81 est [b]fermée [/b] [u]Porte 82[/u]: [latex]82=2^1\times41^1[/latex] donc 82 a 4 diviseurs donc la porte 82 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 83[/u]: [latex]83=81^1[/latex] donc 83 a 2 diviseurs donc la porte 83 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 84[/u]: [latex]84=2^2\times3^1\times7^1[/latex] donc 84 a 12 diviseurs donc la porte 84 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 85[/u]: [latex]85=5^1\times17^1[/latex] donc 85 a 4 diviseurs donc la porte 85 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 86[/u]: [latex]86=2^1\times43^1[/latex] donc 86 a 4 diviseurs donc la porte 86 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 87[/u]: [latex]87=3^1\times29^1[/latex] donc 87 a 4 diviseurs donc la porte 87 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 88[/u]: [latex]88=2^3\times11^1[/latex] donc 88 a 8 diviseurs donc la porte 88 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 89[/u]: [latex]89=89^1[/latex] donc 89 a 2 diviseurs donc la porte 89 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 90[/u]: [latex]90=2^1\times3^2\times5^1[/latex] donc 90 a 12 diviseurs donc la porte 90 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 91[/u]: [latex]91=91^1[/latex] donc 91 a 2 diviseurs donc la porte 91 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 92[/u]: [latex]92=2^2\times23^1[/latex] donc 92 a 6 diviseurs donc la porte 92 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 93[/u]: [latex]93=3^1\times31^1[/latex] donc 93 a 4 diviseurs donc la porte 93 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 94[/u]: [latex]94=2^1\times47^1[/latex] donc 94 a 4 diviseurs donc la porte 94 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 95[/u]: [latex]95=5^1\times19^1[/latex] donc 95 a 4 diviseurs donc la porte 95 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 96[/u]: [latex]96=2^5\times3^1[/latex] donc 96 a 12 diviseurs donc la porte 96 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 97[/u]: [latex]97=97^1[/latex] donc 97 a 2 diviseurs donc la porte 97 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 98[/u]: [latex]98=2^1\times49^1[/latex] donc 98 a 4 diviseurs donc la porte 98 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 99[/u]: [latex]99=3^2\times11^1[/latex] donc 99 a 6 diviseurs donc la porte 99 est [b]ouverte [/b] [u]Porte 100[/u]: [latex]100=2^2\times5^2[/latex] donc 100 a 9 diviseurs donc la porte 100 est [b]fermée [/b] [u]Conclusion[/u]Après 100 passages il y a toutes les portes qui sont ouvertes sauf les portes 1;4;9;16;25;36;49;64;81;100 Ou pour aller plus vite Sachant que le nombre de diviseurs d'un nombre est impair pour que la porte soit fermée alors si n est un nombre alors n=[latex]\prod_i a_i^{n_i}[/latex] avec [latex]a_i[/latex] nombre premier et [latex]n_i[/latex] un nombre alors le nombre de diviseurs d'un nombre est [latex]\prod_i(n_i+1)[/latex] Pour qu'un produit soit impair il faut que tous les facteurs soient impairs donc il faut que les [latex]n_i[/latex]soit pair donc il existe [latex]m_1;m_2;.....;m_i[/latex] tel que n=[latex]\prod_i a_i^{2m_i}[/latex]=[latex](\prod_i a_i^{m_i})^2[/latex] donc n est un carré parfait. Alors les seules portes fermées après 100 passages sont les portes n° [b]1;4;9;16;25;36;49;64;81;100[/b][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ? Retour Résumé de la discussion EfCeBa 26-08-2009 21:31:03 Devant vous se trouvent 100 portes, fermées, numérotées de 1 à 100. Vous allez passer 100 fois devant ces 100 portes en respectant 2 règles, la première est de fermer une porte si elle est ouverte et l'ouvrir si elle est fermée. La seconde règle consiste à passer la première fois en ouvrant toutes les portes. La seconde fois, en fermant une porte sur 2 en commençant par la 2. La troisième fois, vous allez ouvrir ou fermer une porte sur trois (en commençant par la 3), et ainsi de suite. Si l'énoncé n'est pas très clair, je donne un petit exemple : Au départ toutes les portes sont fermées. Au premier passage, vous changez toutes les portes de positions (1, 2, 3, 4, ..., 100) deviennent ouvertes. Au second passage, vous changez une porte sur deux (2, 4, 6, 8, ..., 100) sont à présent fermées. Au troisième passage, vous changez les portes 3, 6, 9, etc. (3 se ferme, 6 s'ouvre, 9 se ferme etc.) Quelle est la position des portes au centième passage ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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