Écrire une réponse @ Prise2Tete

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

	Forum » Enigmes Mathématiques » Un probleme de chaussettes Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]Allez, je m'ennuye donc démo de l'unicité de la solution (même sans la limite d'un milliard de chaussettes). [b][u]Etape I[/u][/b] Soient deux ensembles X et Y de cardinaux x et y, on a une chance de 1/2 de prendre deux éléments tous deux de X ou tous de Y parmi (X U Y) ssi x(x-1)/2 + y(y-1)/2 = (x+y)(x+y-1)/4 => 2x²-2x+2y²-2y = x²+y²+2xy-x-y => x²+y²-2xy = x+y => (x-y)² = x+y On pose x+y = A², on a: Cas I.1/ x-y = A => x=(A²+A)/2, y=(A²-A)/2 Cas I.2/ x-y = -A => x=(A²-A)/2, y=(A²+A)/2 [b][u]Etape II/[/u][/b] On considère les 4 variables b, j, g, n représentant les nombres finaux (après pertes diverses) de chaussettes On sait qu'à la fin, j, b et n sont pairs et g est impair. On étudie les congruences de A modulo 4 A=0[4] => Dans le cas I.1, x et y sont pairs Dans le cas I.2, x et y sont pairs A=1[4] => Dans le cas I.1, x est impair et y est pair Dans le cas I.2, x est pair et y est impair A=2[4] => Dans le cas I.1, x et y sont impairs Dans le cas I.2, x et y sont impairs A=3[4] => Dans le cas I.1, x est pair et y est impair Dans le cas I.2, x est impair et y est pair Pour j et g, on sait que j est pair et g est impair, on a: on pose j+g = A1² II.a/ A1=1[4], j=(A1²-A1)/2 et g=(A1²+A1)/2 II.b/ A1=3[4], j=(A1²+A1)/2 et g=(A1²-A1)/2 Et pour n et b, on sait que n et b sont pairs et que n>b, on a: on pose n+b = A2², avec A2>0 A2=0[4], n=(A2²+A2)/2 et b=(A2²-A2)/2 [b][u]Etape III/[/u][/b] On sait d'après l'énoncé que A1² = j+g = 7(n+b+7) = 7(A2²+7) = 7A2² + 49 Donc > A1²=0[7], donc A1=0[7] > et A1[1]=2 d'après l'étape II (que ce soit II.a ou II.b) On pose A1=7(2P1+1) On a aussi A2=0[4], donc on pose A2=4P2 (comme A2>0, P2>0) A1² = 7A2²+49 => 49(2P1+1)² = 112P2²+49 => 196P1² + 196P1 = 112P2² => 7P1² + 7P1 = 4P2² => 7P1(P1+1) = (2P2)² Donc > Puisque P2>0, P1>0 > 7P1(P1+1) est un carré => P1=0[7] ou P1=6[7] => Vu que deux nombres consecutifs sont premiers entre eux, ils n'ont aucun facteur commun, et donc il existe U>0 et V>0 tels que: (deux cas, suivant que P1=0[7] ou P1=6[7]) III.a/ P1=U² et P1+1=7V² OU III.b/ P1=7U² et P1+1=V² [i][u]Cas III.a[/u][/i] U²+1=7V² On étudie les possibilités de U modulo 7 U=0[7] => U²+1=1[7] U=1[7] => U²+1=2[7] U=2[7] => U²+1=5[7] U=3[7] => U²+1=3[7] U=4[7] => U²+1=3[7] U=5[7] => U²+1=5[7] U=6[7] => U²+1=2[7] => Donc U²+1 n'est [b]jamais[/b] un multiple de 7, ce cas est donc impossible [i][u]Cas III.b:[/u][/i] 7U²+1=V² => (V-1)(V+1)=7U² Trois cas sont a envisager [i]III.b.1[/i]: U=1 7 étant premier, il est impossible que (V-1)(V+1) = 7. [b]Cas impossible[/b] [i]III.b.2[/i]: U=2 74=28 et 29 n'est pas un carré. [b]Cas impossible[/b] [i]III.b.3[/i]: U>2 Dans ce cas, soit V-1, soit V+1 est un multiple de U, mais pas les deux. Donc soit V-1, soit V+1 est un multiple de U² (V +/- 1) = kU² => kU²(kU² +/- 2) = 7U² => k²U² +/- 2k = 7 => 7 multiple de k, mais 7 est premier donc => k=1 ou 7, mais si k=7, alors (7U² +/- 2) = 1, et U² n'est pas entier, donc k=1 => U²= 7 +/- 2 => U² = 5 ou 9, mais 5 n'est pas un carré => U=3, P1=63, A1=889, A2=336 Dans ce cas on trouve pour les nombres finaux de chaussettes (après pertes) j=394716, g=395605, n=56616, b=56280[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?* Retour Résumé de la discussion dhrm77 09-02-2008 23:50:33 Il y a quelques mois j'ai acheté un stock de paires de chaussettes. J'ai acheté des jaunes, des grises claires, des bleu foncées et des noires. Quelques jours apres j'ai perdu une chaussette grise et une chaussette noire. Je me suis apercu alors que j'avais 7 fois plus de chaussettes claires (jaunes ou grises) que de chaussettes foncées (bleues ou noires). Quelques jours plus tard, j'ai perdu à nouveau 7 chaussettes noires. Depuis ce jour, je me suis apercu que si le matin, je m'habille dans le noir, je confond alors les jaunes avec les grises, et les bleues avec les noires, et si je prends 2 claires ou 2 foncees au hasard, j'ai exactement 1 chance sur 2 d'avoir une paire homogène aux pieds. J'ai plus de noires que de bleues, et moins d'un milliard de chaussettes au total. Combien ai-je de chaussettes (pas de paires) de chaque couleur? ______________________________________________________________ Voici les resultats pour l'instant: EfCeBa : faux Scarta : bravo pour le 2eme post! FRiZMOUT et papiauche: presque (relisez bien l'enoncé) claude: faux Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact