Voici un problème qui remonte à 400 ans.

Quel est le diamètre maximal de sphères identiques que l'on puisse caser dans un cube de 1m de coté, et ceci pour un nombre de sphères de 1 à l'infini.

Par exemple pour une seule sphère, il est évident que le diamètre de la plus grosse sphère que l'on puisse mettre dans un cube de 1x1x1 est 1.
Qu'en est-il si l'on essaye de mettre 2 sphères identiques dans un cube de 1x1x1?
puis 3, 4, 5 et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

Comme la solution numérique peut facilement se trouver sur internet, pour compliquer un peu, et pour être sur que vous fassiez vous-même les calculs, je voudrais la réponse sous forme d'expression mathématique et non pas sous forme numérique. Par exemple, si pour un cas particulier la réponse devait être 0.707106781, je voudrais que vous la donniez sous la forme [latex]\frac {sqrt{2}} {2}[/latex].

Veuillez poster vos résultats au fur et à mesure que vous les trouvez.
Je conseille aux débutants de commencer par les cas simples: 8 et 27 sphères.
puis de plus en plus compliqué: 4, 3, 2, 5, 9, 14, 13, 10 sphères...
avant d'attaquer les plus complexes: 6, 7, 11, 12, 15, 16 sphères...
Vous aurez du mal pour 7 sphères, et pour 11 et 12 sphères, je ne crois pas que la solution sous forme d'expression mathématique soit connue.

Si vous n'etes pas sur de comprendre le problème, n'hesitez pas à poser des questions.

Au cas ou l'énoncé prette peut-etre à confusion. Il n'y a pas de solution générale. C'est tout du cas-par-cas.

Pour chaque cas (N sphères identiques), procédez en 2 temps:
1) trouver l'arangement ou le diametre des sphères est maximum. (c'est la partie énigme)
2) calculer le diamètre de ces sphères. (c'est la partie math)

Question subsidiaire:
Le volume occupé par la sphère, dans le cas d'une seule sphère est de 0.52359877...
Pour 2, 3, 4, 5, 6, etc... le volume occupé par les sphères est plus petit (remplissage moins efficace). A partir de combien de sphères, obtient on un taux d'occupation du cube supérieur à 52.3598777% ?

Bonne chance.

Edit: Du au manque de réponses, je rallonge le temps caché à 255 heures. Impossible de mettre 1176 heures pour coincider avec l'anniversaire de la naissance de Kepler...