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	Forum » Enigmes Mathématiques » Une mouche et un camion Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]1/ Alors le camion met 9/72eme d'heure pour faire le trajet AB, durée pendant laquelle la mouche aura parcouru 216 * 9 / 72 soit 27km A ce sujet, on raconte du mathématicien Von Neumann qu'après lui avoir posé un problème similaire, il dit au bout de quelques secondes: "C'est evident" et donna la bonne réponse. Lorsqu'on lui demanda comment il avait fait, il répondit :"J'ai juste calculé la somme d'une série" :) Pour le 2/ d'ailleurs, je ne vois pas d'astuce de calcul, donc je crois bien qu'il faudra passer par là. Alors: [i]Edit: j'ai refait les calculs en m/s au lieu de km/h, c'est plus clair[/i] On va d'abord supposer que l'epaisseur de la mouche est négligeable. On va aussi supposer que quand la mouche rebondit sur le camion, celà lui prend une seconde pendant laquelle le camion avance et "pousse" la mouche, sur une distance qu'il faudra ajouter à la distance parcourue par la mouche (sinon c'est pas marrant ^^, et puis il n'est précisé nulle part qu'il s'agit de la distance totale parcourue par la mouche de son plein gré...) La mouche est contre le mur, prête à partir, elle a déjà fait n aller-retours, le camion est à une distance [latex]D_n[/latex] du mur. La vitesse de la mouche est de 60m/s, le camion 20m/s, les distances sont en m et les temps en s On notera [latex]d_i(D_n)[/latex] la distance parcourue par la mouche à l'étape i en fonction de la distance initiale et [latex]d'_i(D_n)[/latex] celle du camion. [u]Etape 1/[/u] [i]La mouche va vers le camion[/i] Vitesse de la mouche vers le camion: 60+20 = 80m/s Distance à parcourir: [latex]D_n[/latex] Temps de l'étape: [latex]\frac{D_n}{80}[/latex] Donc: [latex]d_1(D_n) = \frac{60.D_n}{80} = \frac{3.D_n}{4}[/latex] et: [latex]d'_1(D_n) = \frac{20.D_n}{80} = \frac{D_n}{4}[/latex] [u]Etape 2/[/u] [i]La mouche rebondit, poussée par le camion[/i] Temps de l'étape: 1s Vitesse de la mouche et du camion: 20m/s Donc: [latex]d_2(D_n) = 20[/latex] et: [latex]d'_2(D_n) = 20[/latex] [u]Etape 3/[/u] [i]La mouche repart vers le mur[/i] Vitesse de la mouche vers le mur: 60m/s Vitesse du camion vers le mur: 20m/s Distance à parcourir: c'est la distance parcourue par la mouche à l'aller, moins les 20m de l'étape 2: [latex]\frac{3.D_n}{4} - 20[/latex] Temps de l'étape: [latex]\frac{\frac{3.D_n}{4} - 20}{60} = \frac{D_n}{80} - \frac{1}{3}[/latex] Donc: [latex]d_3(D_n) = \frac{3.D_n}{4} - 20[/latex] et: [latex]d'_3(D_n) = 20.(\frac{D_n}{80} - \frac{1}{3}) = \frac{D_n}{4} - \frac{20}{3}[/latex] [u]Etape 4/[/u] [i]La mouche rebondit sur le mur[/i] Temps de l'étape: 1s Vitesse de la mouche: 0m/s Vitesse du camion: 20m/s Donc: [latex]d_'(D_n) = 0[/latex] et: [latex]d'_4(D_n) = 20[/latex] Total après un aller retour: [latex]d(D_n) = \frac{3.D_n}{4} + 20 + \frac{3.D_n}{4} - 20 + 0 = \frac{3.D_n}{2}[/latex] et: [latex]d'(D_n) = \frac{D_n}{4} + 20 + \frac{D_n}{4} - \frac{20}{3} + 20 = \frac{D_n}{2} + \frac{100}{3}[/latex] On a alors [latex]D_{n+1} = D_n - (\frac{D_n}{2} + \frac{100}{3}) = \frac{D_n}{2} - \frac{100}{3}[/latex] [u]On va chercher le terme général de la suite D.[/u] Pour celà on pose la suite V telle que: [latex]V_n = D_n + \frac{200}{3}[/latex] On a: [latex]V_{n+1} = D_{n+1} + \frac{200}{3} = \frac{D_n}{2} - \frac{100}{3} + \frac{200}{3} = \frac{D_n}{2} + \frac{100}{3} = \frac{V_n}{2}[/latex] V est une suite géométrique, on a donc: [latex]V_n = \frac{V_0}{2^n}[/latex] et [latex]D_n = V_n - \frac{200}{3} = \frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3}[/latex] [u]On va combien d'aller-retour fera la mouche[/u] Pour celà on cherche la valeur maximale de n pour laquelle D est positive [latex]\frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3} = 0\\\frac{V_0}{2^n} = \frac{200}{3}\\\frac{3.V_0}{2^n} = 200\\\frac{3.D_0}{200} + 1 = 2^n\\ln(\frac{3.D_0}{200} + 1) = n.ln(2)\\n = log_2(\frac{3.D_0}{200} + 1)[/latex] Application numérique: n=7.08..., on ne comptera donc pas ce qu'il se passe après n=7, vu que la mouche sera déjà ecrasée. On cherche donc la somme [latex]\sum_{n=0}^7d(D_n)[/latex] [latex]\sum_{n=0}^7d(D_n) \\= \sum_{n=0}^7\frac{3.D_n}{2} \\= \frac{3}{2}.\sum_{n=0}^7D_n \\= \frac{3}{2}.\sum_{n=0}^7(\frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3}) \\= \frac{3}{2}.(-\frac{1600}{3} + \sum_{n=0}^7\frac{V_0}{2^n}) \\= -800 + \frac{3.V_0}{2}.\sum_{n=0}^7\frac{1}{2^n} \\= -800 + \frac{3.V_0}{2}.\sum_{n=0}^7\frac{2^{7-n}}{2^7} \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.\sum_{n=0}^72^{7-n} \\[/latex] Petit changement de variable, n -> 7-n [latex]= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.\sum_{n=0}^72^n \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.(2^8-1) \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.(2^8-1) \\= 255.\frac{3.D_0 + 200}{256} - 800 \\= \frac{105175}{4}[/latex] On trouve donc: 105175/4, soit 26293,75m Ouf![/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion papiauche 02-03-2008 23:32:31 Une énigme classique, mais que j'aime bien. Les points A et B (un mur) sont distants de 9 kms. Un camion roule d'un point A au point B à la vitesse de constante de 72 km/h. Une mouche, qui part du point B vole à la vitesse constante de 216 km/h. (C'est rapide pour une mouche, mais plausible.) Dès qu'elle touche le camion, la mouche fait demi-tour jusqu'à son point de départ (le point B), repart vers le camion et ainsi de suite. Questions: 1°) Quelle distance la mouche a-t-elle parcouru avant d'être écrasée sur le mur? 2°)Variante LaTex Notre mouche est protégée par du Latex. Il lui en coûte une seconde à chaque choc pour faire demi-tour. Quelle distance la mouche a-t-elle parcouru avant d'être écrasée sur le mur? Spoiler : Précisions Evidemment OK pour la 1 pour tout le monde. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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