Voici une question ouverte (comprendre par là: je cherche moi aussi la démo ^^).

Soit U la suite définie par
[TeX]
U_0 = U_1 = 1\\
U_{2n} = 4.U_{2n-1} - U_{2n-2}\\
U_{2n+1} = 2.U_{2n} - U_{2n-1}[/TeX]
Soit N défini comme étant le produit de 2 termes consécutifs de U
[TeX]N = U_n * U_{n+1}, n > 0[/TeX]
La question est la suivante: montrer que 2.N.(N-1) est le produit de 2 nombres consécutifs.

Ex: les premiers termes sont 1,1,3,5,17,29,99
(1*3)*(1*3-1) *2 = 12 = 3*4
(3*5)*(3*5-1) *2 = 420 = 20*21
(5*17)*(5*17-1) *2 = 14280 = 119*120
(17*29)*(17*29-1) *2 = 485112 = 696*697
...


Plus fort, la "réciproque" est vraie aussi: si un nombre a est tel que a*(a+1) / 2 est le produit de 2 nombres consécutifs, alors le plus grand des 2 est le produit de 2 termes consécutifs de U.
Ex: 4059*4060 /2 = 8239770 = 2870*2871, et 2871 = 29*99
(ok, c'est pas un vrai exemple, mais bon je me moque pas de vous, c'est juste pour faire passer l'idée)