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	Forum » Enigmes Mathématiques » Un peu de maths dans Q Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=scarta]Tout d'abord [latex]\frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}[/latex] Du coup, une fraction unitaire peut se décomposer d'une infinité de manières différentes [latex]\frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}\\ \frac{1}{a} = \frac{1}{a+2} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{a(a+1)}\\ \frac{1}{a} = \frac{1}{a+2} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{a(a+1)+1} + \frac{1}{a(a+1)(a(a+1)+1)} [/latex] etc... Ensuite, [latex]\frac{a}{b} = \sum_{i=1}^a{\frac{1}{b}}[/latex] Du coup, on peut remplacer chaque fraction [latex]\frac{1}{b}[/latex] par une somme de fractions unitaires du même type que celles vues plus haut. Il faut quand même s'assurer que les différentes décompositions choisies pour les différents [latex]\frac{1}{b}[/latex] ne ramènent pas des termes identiques : en effet, les deux premières décompositions partagent par exemple un meme terme [latex]\frac{1}{a(a+1)}[/latex]. Pour cela, on va décomposer les [latex]\frac{1}{b}[/latex] un par un: si une décomposition n'est pas bonne, on applique la formule sur le terme qui nous embete, jusqu'à obtenir un terme correct, ce qui finira toujours par arriver vu que la formule nous donne des dénominateurs de plus en plus grand (et que tout ensemble non vide fini d'entiers admet nécessairement un plus grand élément) Exemple: 5/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 On commence par 1/4 = 1/4 1/4 = 1/5 + 1/20 On continue donc avec 2/4 = 1/4 + 1/5 + 1/20 1/4 = 1/5 + 1/20 = 1/6 + 1/30 + 1/21 + 1/420 Donc 3/4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20 + 1/21 + 1/30 + 1/420 1/4 = 1/5 + 1/20 = 1/6 + 1/30 + 1/21 + 1/420 = 1/7 + 1/42 + 1/31 + 1/930 + 1/22 + 1/462 + 1/421 + 1/176820 Donc 4/4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/30 + 1/31 + 1/42 + 1/420 + 1/421 + 1/462 + 1/930 + 1/176820 1/7 + 1/22 + 1/31 + 1/42 + 1/421 + 1/462 + 1/930 + 1/176820 = 1/8 + 1/56 + 1/23 + 1/506 + 1/32 + 1/992 + 1/43 + 1/1806 + 1/422 + 1/177662 + 1/463 + 1/213906 + 1/931 + 1/865830 + 1/176821 + 1/31265489220 Donc 5/4 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/30 + 1/31 + 1/32 + 1/42 + 1/43 + 1/56 + 1/420 + 1/421 + 1/422 + 1/462 + 1/463 + 1/506 + 1/930 + 1/931 + 1/992 + 1/1806 + 1/176820 + 1/176821 + 1/177662 + 1/213906 + 1/865830 + 1/31265489220 Voilà. Bon ok c'est ma démo perso, elle vaut ce qu'elle vaut mais elle marche, par contre les résultats sont bien moins efficaces que d'autres algos comme celui de Fibonacci: Exemple 5/4: 0<4/5<1 => 1/1 5/4-1/1 = 1/4, unitaire => 5/4 = 1/1 + 1/4 Exmple 7/9: 1<9/7<2 => 1/2 7/9-1/2 = 5/18, 3<18/5<4 => 1/4 5/18-1/4 = 1/36, unitaire => 7/9 = 1/2+1/4+1/36[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 20 moutons, ils meurent tous sauf 12, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion falcon 11-09-2010 18:52:34 Le problème est le suivant : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme un quotient d'entiers relatifs Montrer que pour tout nombre rationnel x, il existe un certain nombre d'entiers relatifs distincts tels que x vaut la somme de leurs inverses. C'est à dire : il existe un entier naturel k et une partie {i1,...,ik} de Z telle que x = 1/i1 + ... + 1/ik Par exemple : 7/4 = 1/1 + 1/2 + 1/4 ou 7/9 = 1/2 + 1/6 + 1/9 Enfin, on peut aussi montrer que si x > 0, il existe un entier naturel k et une partie {i1,...,ik} de N telle que x = 1/i1 + ... + 1/ik. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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