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MthS-MlndN · Résumé de la discussion

Voici une énigme qui fera plaisir aux géomètres parmi vous. Elle n'est pas de moi : je vous donnerai le lien en guise de réponse

1) On trace, dans un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ?

2) On trace, à l'extérieur d'un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ?

Je mets les figures d'illustration (pour n=7) en spoiler, car elles donnent un modus operandi pour la résolution

Spoiler : Figure du cas 1

Spoiler : Figure du cas 2

Pour ceux qui n'ont pas regardé les figures, quelques indices pour commencer, valables pour les deux questions :

Spoiler : Indice 1

Spoiler : Indice 2

Spoiler : Indice 3

La case réponse valide la valeur de [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}n r_n[/latex] trouvée à la question 2.

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Cercles tangents à des cercles Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=McFlambi]Alors je me lance sans regarder les spoilers (a ce propos la technique de vasimolo qui consiste a placer les spoilers progressivement et non des le debut est pas mal :) ) pour l'interieur et l'exterieur, il s'agit de diviser le cercle en [latex]n[/latex] parts. Sans savoir exprimer [latex]r_n[/latex] je peux deja intuiter que vers l'infini, ces petits cercles feront une jolie micro decoration autour du cercle principal et donc la somme de ces rayons (=[latex]n r_n[/latex]) sera la moitie de la somme des perimetres, qui vaudra sans doute [latex]2\pi[/latex]. Donc pour moi avant toute chose, [latex]\lim_{n\rightarrow \infty} n r_n = \pi[/latex] maintenant pour exprimer [latex]r_n[/latex]... On part de la relation entre corde [latex]C[/latex] et angle [latex]\theta[/latex]: [latex]C=2 R \sin \frac{\theta}{2}[/latex] On peut tracer le cercle qui passe par tous les centres des petits cercles, de rayon [latex]R=1 \pm r_n[/latex], et dont les cordes tendues entre chaque centre sont de longueur [latex]C=2 r_n[/latex] et alors on a la relation suivante apres simplification par 2: [latex] r_n= (1 \pm r_n) \sin \frac{\pi}{n}[/latex] soit deux cas, avec interieur : [latex] r_n= \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}[/latex] et exterieur : [latex]r_n= \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}[/latex] ce qui est coherent avec la limite d'avant.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ? Retour Résumé de la discussion MthS-MlndN 01-10-2010 01:08:41 Voici une énigme qui fera plaisir aux géomètres parmi vous. Elle n'est pas de moi : je vous donnerai le lien en guise de réponse 1) On trace, dans un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ? 2) On trace, à l'extérieur d'un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ? Je mets les figures d'illustration (pour n=7) en spoiler, car elles donnent un modus operandi pour la résolution Spoiler : Figure du cas 1 Spoiler : Figure du cas 2 Pour ceux qui n'ont pas regardé les figures, quelques indices pour commencer, valables pour les deux questions : Spoiler : Indice 1 Spoiler : Indice 2 Spoiler : Indice 3 La case réponse valide la valeur de [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}n r_n[/latex] trouvée à la question 2. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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