Supposez que l'on fasse de la musique avec non pas douze demi-tons mais vingt-quatre quart de tons (équitablement répartis dans l'octave).
Alors combien existerait-il de familles d'accords à douze sons?
Pour ceux qui n'auraient pas vu le premier sujet, je vous invite à le regarder ici.
Spoiler : Indice1
Il est nécessaire de trouver une astuce pour dénombrer les aspects invariants par rotation, à la main, cette fois, ça peut être long!

Spoiler : Indice2
Je propose de trier les familles et les aspects suivant leur ordre. Je m'explique, une famille ou un aspect d'ordre $p\ge 1$ est invariant par rotation d'angle $\frac{2\pi}{p}$. Si il y a plusieurs possibilités, on choisit $p$ le plus grand possible.
On pourra également utiliser la notation suivante:
TE-$n$: Système musical de la division équitable de l'octave en $n$ intervalles. Le TE-24 est le système des quart de tons.
[TeX]M_{n, k}, \quad N_{n, k}[/latex]: respectivement, le nombre d'aspects et de familles d'accords à [latex]k[/latex] sons dans le TE-[latex]n[/latex].
[latex]M_{n, k}^*, \quad N_{n, k}^*[/latex]: respectivement, le nombre d'aspects et de familles à [latex]k[/latex] sons dans le TE-[latex]n[/latex] dont l'ordre est supérieur à deux.
[latex]M_{n, k,p}, \quad N_{n, k,p}[/latex]: respectivement, le nombre d'aspects et de familles d'accords à [latex]k[/latex] sons dans le TE-[latex]n[/latex] d'ordre [latex]p[/latex].
On a donc:
[latex]M_{24, 12}=M_{24,12,1}+M_{24,12}^*[/latex], et
[latex]M_{24,12}^*=\sum_{p\ge2} M_{24,12, p}[/latex], où on somme sur tous les ordres possibles.

Spoiler : Indice3
Si je résume les informations contenues dans le premier épisode, on a:
[latex]M_{n, k}=C_{n-1}^{k-1}[/TeX]
[TeX]N_{24,12}=\sum_{p\ge1} \frac{M_{24,12,p}}{12/p}[/TeX]

Spoiler : Indice4
Reprise de l'indice1: le problème est "terminé" quand on sait calculer $M_{24,12}^*$.
Ce n'est pas pour rien que j'ai introduit le "TE-$n$". Des résultats de systèmes plus simples ($n<24$) peuvent être utiles... J'aurais du mal à en dire plus!

Bonne chance.