Une première énigme mathématique maison...

Boole, l'éléctricien de Gauss, lui a installé un plafonnier composé de 6 lampes A,B,C,D,E et F, telles que ABCDEF forme un hexagone régulier.

Chacune des lampes a deux états possibles : éteinte ou allumée.

Dans la pièce, Boole a installé 6 interupteurs, u,v,w,x,y,z. Actionner l'interputeur
* u change d'état les lampes F,A,B
* v change d'état les lampes A,B,C
* w change d'état les lampes B,C,D
* x change d'état les lampes C,D,E
* y change d'état les lampes D,E,F
* z change d'état les lampes E,F,A

Chaque interupteur a deux états : position haute ou position basse.

En rentrant chez lui, Gauss constate que certaines des lampes sont allumées, d'autres éteintes. Tous les interupteurs sont en position basse. Au bout de quelques secondes, il est certain de pouvoir éteindre toutes les lampes.

Question 1 : Donner une condition nécessaire et suffisante (la plus élégante possible!) sur l'état initial des six lampes pour que Gauss puisse effectivement les éteindre.
C'est plus classe quand c'est démontré...
À titre de test, entrez le nombre de possibilités trouvé dans la case réponse.

Question 2 : (bonus) Dans chacun des cas où l'on peut éteindre les lampes, combien de configurations différentes des interrupteurs permettent de les éteindre ?

Question 3 : (super bonus) expliquer les positions possibles des interupteurs pour éteindre une configuration initiale donnée...

[Edit] : à l'arrivée de Gauss, il se peut que toutes les lampes soient éteintes ou allumées... (désolé)