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	Forum » Enigmes Mathématiques » Une autre écriture pour les entiers... Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=luthin]Voici mon interprétation du code. Je prends un entier n. Il peut se mettre sous la forme: n=n0=2n1 si il est pair n=n0=2n1+1 si il est impair De la même façon, n1 peut se décomposer en: n1=2n2 si il est pair n1=2n2+1 si il est impair Et ainsi de suite, jusqu'à ce que j'obtienne ni=1. Si je mémorise le cheminement qui m'y a conduit, j'aurais décrit l'entier initial de façon unique. Je compte alors les fois de suite où j'obtiens des nombres pairs ou impairs, et je les range entre crochets. Par convention, je choisis de décrire le cheminement par autant "d'opérations pairs que d'impairs" (C1). Autrement dit, le codage de n se fera toujours avec un nombre pair d'entiers. Par convention, le premier nombre de la série traduit des opération impaires" (C2), le second, des opérations pairs, des opérations impaires pour le troisième etc... Autant prendre des exemples, ça sera sûrement plus clair: 5=2[b]2[/b]+1, puis 2=2[b]1[/b] On commence donc par une opération impaire, suivie d'une opération paire. => 5 = [1,1] 6=2[b]3[/b], puis 3=2[b]1[/b]+1 Je commence donc par zéro opération impair (voir C2) puis une paire, une impaire, et zéro pair (voir C1). => 6 = [0,1,1,0] Finalement, les entiers de 11 à 20 se codent ainsi: 11 = [2,1] 12 = [0,2,1,0] 13 = [1,1,1,0] 14 = [0,1,2,0] 15 = [3,0] 16 = [0,4] 17 = [1,3] 18 = [0,1,1,2] 19 = [2,2] 20 = [0,2,1,1] Bravo à Supercab et Rivas qui ont compris cette logique. Je vous invite à lire la réponse de rivas qui donne une belle interprétation et fait un rapprochement intéressant avec l'écriture binaire. Bon, ce que j'ai expliqué plus haut, c'est la version "simple" (j'avais dit que des notions de base étaient suffisantes...), qui à sûrement l'avantage de pouvoir être comprise par un plus grand nombre mais qui est à mon sens, pas très rigoureuse. En particulier, l'écriture de 1 est ambigüe avec ces seules explications... J'ai donc introduit deux fonctions f et g telles que: [latex]f(x)=2x+1[/latex] et [latex]g(x)=2x[/latex] J'utilise la notation suivante pour les composées: [latex]f^{m}(x)=(\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}_{m\times})(x)[/latex] Alors, je propose que: [latex]\forall n \in \mathbb{N}^, \exists !p\in \mathbb{N}^, \exists !(m_1, m_2,...,m_{2p})\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^{2(p-1)}\times\mathbb{N} \backslash n=(f^{m_1}\circ g^{m_2}\circ ...\circ g^{m_{2p}})(1)[/latex] Vous l'avez donc compris, le vecteur [latex](m_1, m_2,...,m_{2p})[/latex] constitue le codage (et je ne sais pas pourquoi j'ai introduit des crochets! :/) Puisque toute fonction composée zéro fois, est la fonction identité, on a bien [latex](f^0\circ g^0)(1)=1[/latex], ce qui explique le codage de 1. Deux mots sur l'image du dessus. De la même façon, on peut coder ou décomposer les entiers [latex]m_i[/latex] jusqu'à l'obtention de 0 uniquement. Un exemple... 2 = [0,1] = [0,[0,0]] 4 = [0,2] = [0,[0,[0,0]]] En remplaçant les "[", "0" et "]" par trois couleurs différentes, on obtient alors la représentation graphique que j'ai donné ci-dessus (on peut se passer de représenter le "," car le "0" n'est qu'un chiffre...). Je trouve ça assez intéressant de "mettre à jour" un certain coté chaotique dans la suite des entiers, tout comme peut l'avoir celle des nombres premiers. Il semble y avoir tout de même un arrangement semi-périodique... Voila, j'espère ne pas avoir raconté trop de bêtises. Merci à ceux qui ont participé et cherché. :) PS: ah oui, j'oubliais, et pour répondre à Rivas. Ce qui m'a amené à cette écriture n'est pas la suite Conway, mais la suite de Syracuse. En essayant d'exprimer les termes de cette suite (même pas peur! :D), c'est venu "assez naturellement"... Peut-être que je proposerai ce que j'ai fait sous forme d'une énigme, c'est assez amusant, d'ailleurs le sujet de [url=http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=7616]ma nouvelle énigme[/url] est issu également d'une réflexion à propos de cette même fameuse suite.[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 30 moutons, ils meurent tous sauf 15, combien en reste-t-il ?* Retour Résumé de la discussion luthin 03-11-2010 19:43:57 Voici comment on peut écrire les entiers de 1 à 10: 1 = [0, 0] 2 = [0, 1] 3 = [1, 0] 4 = [0, 2] 5 = [1, 1] 6 = [0, 1, 1, 0] 7 = [2, 0] 8 = [0, 3] 9 = [1, 2] 10 = [0, 1, 1, 1] A votre avis, comment écrit-on alors les dix suivants? PS: J'ai hésité à poster dans la section logique, mais c'est pour "des raisons mathématiques" que j'ai pensé à introduire cette écriture. 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