Voici un autre problème que je me suis posé récemment:

Question 1: Vous n'aurez pas de mal à vous convaincre que quelque soit l'entier [latex]n[/latex] positif ou nul, on peut écrire:
[latex](2^n)!=2^k r[/latex], où [latex]k\in\mathbb{N}[/latex] et [latex]r[/latex] est un entier impair.
Alors, je vous demande d'exprimer [latex]k[/latex] en fonction de [latex]n[/latex].

Question bonus: Profitez-en pour exprimer également [latex]r[/latex] en fonction de [latex]n[/latex] (sans faire intervenir [latex](2^n)![/latex]).
Spoiler : Indice:  Vous aurez sûrement besoin d'utiliser la double factorielle .

Question 2: C'est la question initiale que je me suis posé.
Considérons un entier [latex]p[/latex] positif ou nul et notons [latex]b[/latex], la somme de ses chiffres en écriture binaire.
Alors, au maximum, combien de fois peut-on diviser [latex]p![/latex] par 2?
Spoiler : Indice:  La question 1 n'est pas anodine...

Amusez-vous bien.