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luthin · Résumé de la discussion

Voici un autre problème que je me suis posé récemment:

Question 1: Vous n'aurez pas de mal à vous convaincre que quelque soit l'entier $n$ positif ou nul, on peut écrire:
$(2^n)!=2^k r$ , où $k\in\mathbb{N}$ et $r$ est un entier impair.
Alors, je vous demande d'exprimer $k$ en fonction de $n$ .

Question bonus: Profitez-en pour exprimer également $r$ en fonction de $n$ (sans faire intervenir $(2^n)!$ ).
Spoiler : Indice:.

Question 2: C'est la question initiale que je me suis posé.
Considérons un entier $p$ positif ou nul et notons $b$ , la somme de ses chiffres en écriture binaire.
Alors, au maximum, combien de fois peut-on diviser $p!$ par 2?
Spoiler : Indice: La question 1 n'est pas anodine...

Amusez-vous bien.

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	Forum » Enigmes Mathématiques » Combien de fois peut-on diviser p! par 2? Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Yannek]En écrivant d'abord les facteurs impairs on trouve : [latex](2^n)!=(2^n-1)!!\times(2\times ((2^{n-1})!)))[/latex] À partir de cette formule, on peut prouver par récurrence sur n : [latex](2^n)!=2^{2^{n}-1}\times r[/latex] avec [latex]r=\prod_{k=1}^n(2^k-1)!![/latex] En particulier, si [latex]p=\sum_{k=1}^b2^{n_k}[/latex] avec [latex]n_k>...>n_1[/latex], on obtient : [latex]p!=2^{\sum_{k=1}^n2^{n_k}-1}r'=2^{2^{p-b}}\times r'[/latex] avec r' impair. [Edit] mauvais copié-collé, merci Luthin : [latex]p!=2^{\sum_{k=1}^n2^{n_k}-1}r'=2^{p-b}\times r'[/latex][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Tim, Tam et ? Retour Résumé de la discussion luthin 06-11-2010 19:47:18 Voici un autre problème que je me suis posé récemment: Question 1: Vous n'aurez pas de mal à vous convaincre que quelque soit l'entier $n$ positif ou nul, on peut écrire: $(2^n)!=2^k r$ , où $k\in\mathbb{N}$ et $r$ est un entier impair. Alors, je vous demande d'exprimer $k$ en fonction de $n$ . Question bonus: Profitez-en pour exprimer également $r$ en fonction de $n$ (sans faire intervenir $(2^n)!$ ). Spoiler : Indice:. Question 2: C'est la question initiale que je me suis posé. Considérons un entier $p$ positif ou nul et notons $b$ , la somme de ses chiffres en écriture binaire. Alors, au maximum, combien de fois peut-on diviser $p!$ par 2? Spoiler : Indice: La question 1 n'est pas anodine... Amusez-vous bien. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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