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	Forum » Enigmes Mathématiques » L'hotel de l'infini Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=supercab]En effet il y a un problème: J'ai écrit: [quote]ensuite on fait le changement d'indice p'=p/d et q'=q/d: [latex](\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2})^2=(\sum\limits_{d=1}^n \frac{1}{d^4}) (\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2})[/latex] avec encore et toujours : [latex]p\prime, q\prime \in [\![1,n]\!][/latex] .[/quote] En fait, [latex]p\prime, q\prime \in [\![1,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]\!][/latex] Pour résoudre ce problème, il faut dire que [latex]\sum\limits_{\{{pgcd(p\prime,q\prime)=1\\p,q\in \mathbb{N}}} \frac{1}{p\prime^2 q\prime^2}[/latex] existe car la suite [latex](\sum\limits_{\{{pgcd(p\prime,q\prime)=1\\p,q\in [\![1,n]\!]}} \frac{1}{p\prime^2 q\prime^2})_{n\in \mathbb{N}}[/latex] est croissante et majorée par [latex]\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/latex] ; On peut ainsi passer à la limite sur n plus tôt, ce qui nous donne: [latex](\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^\infty (\sum\limits_{pgcd(p,q)=d} \frac{1}{p^2 q^2}) [/latex] Puis le changement d'indice: [latex](\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2=\sum\limits_{d=1}^\infty \frac{1}{d^4}\sum\limits_{pgcd(p\prime,q\prime)=1} \frac{1}{p\prime^2 q\prime^2} [/latex] Et donc on retrouve correctment : [latex]\sum\limits_{\{{pgcd(p\prime,q\prime)=1}\\p,q\in \mathbb{N}} \frac{1}{p\prime ^2 q\prime^2}=\frac{(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2})^2}{\sum\limits_{d=1}^\infty \frac{1}{d^4}}=\frac{5}{2}[/latex] J'espère que c'est bon maintenant :D[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Si il y a 78 pommes et que vous en prenez 43, combien en avez-vous ? Retour Résumé de la discussion supercab 04-11-2010 22:17:25 Voila, je post ma première énigme. Imaginons un hôtel qui aurait une infinité de chambres et elles sont toutes occupées (et oui y'a plein de monde dedans...). Problème 1: Un homme arrive à la réception et demande une chambre. Le réceptionniste lui dis "Pas de souci". Comment fait il pour le loger? Problème 2: Un car rempli d'une infinité de personnes arrive. Là le réceptionniste se dit "Oula, cette fois ça va être plus dur; mais je vais y arriver". Comment fait il pour loger tout le monde? Problème 3: Cette fois c'est une infinité de cars remplis d'une infinité de personne qui arrivent. Le réceptionniste se demande vraiment s'il va arriver à caser tout le monde. Comment feriez-vous? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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