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	Forum » Enigmes Mathématiques » Partageons-nous un cercle Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=L00ping007]On cherche le nombre minimal de points, donc on va essayer pour chaque nombre n de points de maximiser le nombre de régions créées par les cordes. Je conjecture qu'avec n points, le nombre maximal de régions est 2^(n-1), d'après mes tests sur les 5 premiers points. Du coup, comme n^12=4096, [b]n=12[/b] serait la valeur cherchée. Ne reste plus qu'à montrer la conjecture ... EDIT ... qui est fausse :) On s'aperçoit que pour 6 points, le nombre de régions maximum (c'est-à-dire sans 3 cordes concourantes) est 31. Après moults calculs, j'en arrive à n=19 au minimum... Ouf ! La solution générale du nombre de régions maximum est un polynôme de degré 4 en n le nombre de points ! Principe du raisonnement : On considère n points, que l'on ordonne sur le cercle. Au départ, on a 1 région, le disque. Avec le premier point, on crée n-1 régions en traçant les cordes avec les n-1 autres points. Avec le second point, on peut tracer n-2 autres cordes. La première n'en coupe aucune autre, et crée donc 1 région. La seconde par contre coupe une corde issue du premier point, et crée 2 régions. La troisième crée 3 régions, et ainsi de suite, la (n-2)ème crée n-2 régions. En résumé, la kème corde crée k régions, pour k allant de 1 à n-2. Avec le troisième point, on crée 1 région avec la première corde, 3 régions avec la seconde (elle coupe 2 cordes), ainsi de suite. La kème corde crée 2k-1 régions, pour k allant de 1 à n-3. Avec le quatrième point, on crée 1 région avec la première corde, 4 régions avec la seconde, etc... La kème corde crée 3k-2 régions, k allant de 1 à n-4. ... Le (n-2)ème point crée 1 région avec le (n-1)ème point, et la corde avec le nème point coupe déjà n-3 cordes, donc crée n-2 régions. Et le (n-1)ème point crée une seule région avec le dernier point. On peut, en indexant sur j les n-1 points à partir desquels on trace successivement les cordes, trouver une formule pour le nombre total de régions créées : j=0 : 1 (disque) j=1 : n-1, donc somme des 1 pour k allant de 1 à n-1 j=2 : somme des k pour k allant de 1 à n-2 j=3 : somme des 2k-1 pour k allant de 1 à n-3 j=4 : somme des 3k-2 pour k allant de 1 à n-4 ... pour j : somme des (j-1)k-(j-2) pour k allant de 1 à n-j ou en décalant l'indice : (j-1)k+1 pour k allant de 0 à n-j-1 On arrive donc à une somme double, que voici : [latex]1+\sum_{j=1}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-j-1} ((j-1)k+1)[/latex] Là, on a le choix. Soit on développe tout ça, en utilisant la formule de la somme des k et la formule de la somme des k². Soit on s'aperçoit que cela va nous donner un polynôme de degré 4 en n, et on fait une interpolation sur les valeurs qu'on a déjà calculées. Après calculs, on trouve que le nombre maximum de régions que l'on peut créer avec n points est : [latex]\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}[/latex] Le nombre n minmum qui permet de dépasser 4000 est [b]n=19[/b]. Ouf !!![/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 40 moutons, ils meurent tous sauf 18, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion toni77 09-01-2011 15:59:45 On dessine sur une très grande feuille de papier blanc un très grand cercle. On décide de placer un certain nombre de (petits) points sur ce cercle, où bon nous semble. Appelons n ce nombre. Chaque point ainsi placé est relié à chacun de autres points, à chaque fois par un très fin segment de droite. Le grand cercle a ainsi été partagé en plus de 4000 régions délimitées par ces segments de droites. Quelle est la plus petite valeur possible pour n ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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