Bien moins connue que l'énigme du produit et de la somme, voici une autre énigme "épistémique" (=requérant un raisonnement sur ce que les autres savent ou pas)...

Archimède, Diophante, Eratosthène et Pythagore s'ennuient au paradis. Uranie, muse des mathématiques, vient leur poser un 'tit problème de la part du Patron:
IL a choisit cinq nombres i j k l m vérifiant :
1 ≤ i < j < k < l < m ≤ 10
On indique à Pythagore leur produit P = ijklm,
à Archimède, l'addition des 5 nombres A = i + j + k + l + m,
à Ératosthène, la somme de leurs élévations au carrés E = i^2 + j^2 + k^2 + l^2 + m^2,
et à Diophante, la valeur D = (i + j + k) (l + m),
et il leur demande de trouver les 5 nombres.

1. Une heure après, Uranie revient les voir et les quatre grands mathématiciens répondent ensemble : « δεν ξέρω » (= « Je ne sais pas » en  grec moderne. Oui entretemps ils se sont mis au grec moderne :-) )
2. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
3. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
4. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
Etc.
23. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
Mais après cette dernière réponse, les quatre visages sourient et tous s'écrient : « ξέρω ! C'est bon, je connais i, j, k, l et m. »

Quels sont les cinq nombres i j k l m ?

PS : question subsidiaire combien de temps terrestre dure une heure là-haut ?