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	Forum » Enigmes Mathématiques » Critère de primalité ? Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=L00ping007]On va d'abord calculer [latex]S_4(n)=\sum_{k=1}^{n}k^4[/latex] On utilise la technique des sommes téléscopiques : [latex]\sum_{k=1}^{n}(k+1)^5 - \sum_{k=1}^{n}k^5 = (n+1)^5-1[/latex] et [latex]\sum_{k=1}^{n}\left ((k+1)^5 - k^5 \right) = \sum_{k=1}^{n} (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)[/latex] On connait les 3 sommes suivantes (sinon on utilise la même technique au rang inférieur) [latex]S_3(n)=\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left (\frac{n(n+1)}2\right)^2[/latex] [latex]S_2(n)=\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6[/latex] [latex]S_1(n)=\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}2[/latex] [latex]S_0(n)=\sum_{k=1}^{n}1 = n[/latex] On trouve alors [latex]S_4(n)=\sum_{k=1}^{n}k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}[/latex] Il faut maintenant montrer que pour n premier > 6, ce nombre est un multiple de n. Cela revient à montrer que pour n premier > 6, on a : [latex]30 \| (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/latex] Prenons n un nombre premier > 6. Je note [latex]a_n = (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/latex] On a n premier avec 2, premier avec 3, et premier avec 5. 1/ On en déduit donc que n+1 est pair, donc [latex]2\|a_n[/latex] 2/ n=3p+1 ou 3p+2, car n est premier avec 3 [u]si n=3p+1[/u] : [latex]a_n=(3p+2)(6p+3)(3n^2+3n-1)[/latex] [u]si n=3p+2[/u] : [latex]a_n=(3p+3)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/latex] Dans les 2 cas, [latex]3\|a_n[/latex] 3/ n est premier avec 5, donc n=5p+r avec r=1,2,3 ou 4. [u]n=5p+1[/u] : [latex]a_n=(n+1)(2n+1)(75p^2+45p+5)[/latex] [u]n=5p+2[/u] : [latex]a_n=(n+1)(10p+5)(3n^2+3n-1)[/latex] [u]n=5p+3[/u] : [latex]a_n=(n+1)(2n+1)(75p^2+105p+35)[/latex] [u]n=5p+4[/u] : [latex]a_n=(5p+5)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/latex] On voit que dans tous les cas, [latex]5\|a_n[/latex] 2,3, et 5 étant premiers entre eux, on en déduit que [latex]30\|a_n[/latex] : CQFD On pense avoir trouvé alors un critère de primalité ? Mais non, car il suffit de trouver un nombre non premier qui est à la fois premier avec 2,3 et 5, et on arrivera au même résultat. Le premier nombre qui vérifie cela est le carré du plus petit nombre premier supérieur strictement à 5. Le plus petit n non premier, mais premier avec 2,3 et 5 qui vérifie la relation est donc n=49. Il reste tout de même à montrer que si n n'est pas premier, pour n < 49, la relation n'est pas vérifiée. Ainsi n=49 sera la plus petit n non premier qui vérifie la relation. Essayons avec les nombres n=2p, puis n=3p, et enfin n=5p. [u]n=2p[/u] Alors [latex]a_n=(2p+1)(4p+1)(12p^2+6p-1)[/latex] qui est nombre impair, donc jamais multiple de 30 [u]n=3p[/u] Alors [latex]a_n=(3p+1)(6p+1)(27p^2+9p-1)[/latex] qui est encore un nombre impair, donc jamais multiple de 30. ([latex]27p^2+9p = 9p(3p+1)[/latex] et p ou 3p+1 est forcément pair) [u]n=5p[/u] Alors [latex]a_n=(5p+1)(10p+1)(75p^2+15p-1)[/latex] qui est encore un nombre impair, donc jamais multiple de 30. ([latex]75p^2+15p = 15p(5p+1)[/latex] et p ou 5p+1 est forcément pair) On a donc démontré que pour tout [latex]6 < n < 49[/latex] - [latex]n\ premier \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n}k^4 = 0\ [n][/latex] - [b]n=49[/b] est le plus petit non premier qui vérifie [latex]\sum_{k=1}^{n}k^4 = 0\ [n][/latex][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ? Retour Résumé de la discussion Jackv 29-01-2011 22:28:51 Soit la suite [latex]u(N) = mod((\sum_{n=1}^{N} n^4) , N)[/latex] - démontrer que pour tout N premier > 6 , u(N) = 0. Cette fonction pourait constituer un critère de primalité (mais cela se saurait), si et seulement si, pour tout N non premier, on avait [latex]u(N) \neq 0[/latex]. - quel est le plus petit N non premier pour lequel on a [latex]u(N) = 0[/latex] ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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