Bonsoir tout le monde !

   J'suis en maths spé option informatique, et nous avons réfléchi avec quelques-uns de mes potes à un problème qui est le suivant :

   Vous vous trouvez devant un mur infini, c'est-à-dire que devant vous, le mur s'étend à gauche jusqu'à l'infini, et de même à droite. Vous savez que le mur possède UNE porte, mais vous ne pouvez la trouver qu'à une seule condition : vous retrouver juste devant.
   (On est donc ramené à un problème "géométrique" unidimensionnel où l'on se trouve en un point O et où il faut trouver un point P en parcourant le plus petite distance possible, tout en ignorant la position de P)

   Le but de cet exercice est de trouver cette porte : si on note $d$ la distance initiale de vous à la porte, il faut trouver un algorithme qui permet de trouver cette fameuse porte en une distance en $O(d)$.

   Nous sont venues plusieurs idées à l'esprit comme par exemple, parcourir une distance $a_1$ vers la droite, puis une distance $2a_1$ vers la gauche, puis une distance $3a_1$ vers la droite, etc. ; algorithme qui n'est pas en $O(d)$, mais ce n'est pas ce qui nous intéresse ici !

   En disant un peu n'importe quoi, nous avons considéré l'idée suivante : partir d'une distance $a_1$ vers la droite ou la gauche (ça a peu d'importance, au pire on tire à pile ou face !), puis aller dans le sens opposé si on n'a pas trouvé la porte et parcourir une distance $exp(a_1)$, et recommencer dans l'autre sens en marchant sur une distance de $exp(exp(a_1))$, etc.

   Et tant qu'à faire, pourquoi ne pas utiliser la factorielle ? Prenons une distance entière (ça marche un peu mieux), différente de préférence de 0, 1 et 2 que l'on note $a_1$. On effectue cette distance d'un côté, et on repart de l'autre si on n'a pas trouvé la porte d'une distance $a_1!$. Si on n'a pas vu la porte, on recommence de l'autre côté d'une distance de $(a_1!)!$, etc.

   Le problème initial (qui ne nous intéresse donc plus vraiment) nous a conduit au final à nous demander si, en prenant la distance $a_1$ égale à 3, la méthode avec exponentielle "explose plus rapidement" que la méthode avec factorielle.

   Le problème se résume ainsi :
En posant $u_0=a \in \mathbb{N}$, et $u_n_+_1 = exp(u_n)$ et en posant $v_0=a \in \mathbb{N}$ et $v_n_+_1 = (v_n)!$, est-ce que pour n "assez grand" l'une des deux suites prédomine sur l'autre ? (On prend a différent de 0, 1 et 2)

   Si $a=3$ :
   Pour l'exponentielle, on obtient environ les termes 3 ; 20 ; 400x10^6.
   Pour la factorielle, on obtient les termes 3 ; 6 ; 720.
   Maple nous a par ailleurs confirmé que $720! < exp(exp(exp(3)))$.

   Personnellement, j'étais arbitrairement partisan de la factorielle, mais en voyant la valeur de $720!$ par rapport à celle de $exp(exp(exp(3)))$, j'ai été un peu déçu... Mais bon, peu importe ! Sauriez-vous montrer une inégalité entre les deux suites ? Nous, on est perdus !

Alexein41