Bonjour,

Je n'ai encore jamais proposé d'énigme (il faut dire aussi que toutes celles que je connais sont des classiques ) .
Mais j'ai vu dernièrement que vous semblez passionner par les probabilités ,
et cela m'a rappelé un problème de math que j'avais vu dans un encadré de
manuel scolaire de mathématiques des temps anciens  que voici :

Question 1 : Si on casse aléatoirement un bâton en trois morceaux, quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle en mettant ces morceaux bout à bout ?

Je précise que "casser aléatoirement un bâton en trois morceaux" signifie :
Je ferme les yeux, je fais une marque au hasard sur le bâton ; ensuite je fais une deuxième marque en procédant de la même manière. Je casse ensuite le bâton là où j'ai fait les marques.

Avec deux autres questions bonus

Question 2 : Plus généralement, si on casse aléatoirement (dans le
sens décrit ci-dessus) un bâton en $n$ morceaux, quelle est la probabilité d'obtenir un polygone à $n$ cotés en mettant les $n$ morceaux bout à bout ?

Question 1bis : Même question que la question 1 mais cette fois
avec le mode opératoire suivant :

Je casse mon bâton en deux de manière aléatoire, ensuite je tire à pile ou face
quel morceau je vais de nouveau casser en deux aléatoirement.

Voilà, Voilà ...
Maintenant, à vos neurones !


J'ajoute quelques indices :

Indice question 1 :
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Comme on tire deux nombres au hasard on peut essayer de représenter le premier sur un axe des abscisses, et le second sur un axe des ordonnées.

Remarque question 1bis :
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Pour cette question, il faut passer par un calcul d'intégrale. (du moins je n'ai pas trouvé de moyen comme pour la question 1 de l'évité).


Premier Indice question 2 :
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La probabilité d'obtenir un polygone est 1 - (probabilité de NE PAS pouvoir obtenir un polygone)


Deuxième indice Indice question 2 :
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APRÈS avoir fait toutes les marques sur le bâton je peux par exemple
noté $x_0$ une extrémité du bâton et ensuite par ordre croissant
des marques les noter $x_1,\ldots,x_{n-1}$, et noter $x_n$ la dernière extrémité du bâton.